每日一题[2916]分析通项

设函数 $f(x)=x^{2}+(a-2) x-a \ln x$($a \in \mathbb{R}$).

1、若 $a=1$,求 $f(x)$ 的极值.

2、讨论函数 $f(x)$ 的单调性.

3、若 $n \in \mathbb{N}^{*}$,证明:$\dfrac{1}{2^{2}}+\dfrac{2}{3^{2}}+\dfrac{3}{4^{2}} \cdots+\dfrac{n}{(n+1)^{2}}<\ln (n+1)$.

解析

1、当 $a=1$ 时,有\[f(x)=x^2-x-\ln x,\]其导函数\[f'(x)=\dfrac{2x+1}{x}\cdot (x-1),\]于是函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极小值 $f(1)=0$,没有极大值.

2、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{(2x+a)(x-1)}{x},\]讨论分界点为 $a=-2,0$.

情形一     $a<-2$.此时 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增,在 $\left(1,-\dfrac a2\right)$ 上单调递减,在 $\left(-\dfrac a2,+\infty\right)$ 上单调递增.

情形二     $a=-2$.此时 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增.

情形三     $-2<a<0$.此时函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增,在 $\left(-\dfrac a2,1\right)$ 上单调递减,在 $(1,+\infty)$ 上单调递增.

情形四     $a\geqslant 0$.此时函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减,在 $(1,+\infty)$ 上单调递增.

3、当 $n=1$ 时,题中不等式即 $\dfrac14<\ln 2$,显然成立. 当 $n\geqslant 2$ 时,分析通项,只需要证明\[\dfrac{n}{(n+1)^2}\leqslant \ln\dfrac{n+1}{n},\]事实上,有\[\ln\dfrac{n+1}{n}>1-\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{1}{n+1}>\dfrac{n}{(n+1)^2},\]命题得证.

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