已知 $x, y, z$ 是 $3 $ 个大于等于 $ 1 $ 的实数，那么 \[ \left(\frac{\sqrt{x^2(y-1)^2+y^2}}{x y}+\frac{\sqrt{y^2(z-1)^2+z^2}}{y z}+\frac{\sqrt{z^2(x-1)^2+x^2}}{x z}\right)^2 \] 的最小值写是____．
已知函数 $f: \mathbb R \to \mathbb R$，使得任取实数 $x, y, z$ 都有\[f(x y)+f(x z)-2 f(x) f(y z) \geqslant \dfrac{1}{2},\]则 $[1 \cdot f(1)]+[2 \cdot f(2)]+\cdots+[2022 \cdot f(2022)]=$ _______．（其中 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数）．
设 $\triangle A B C$ 的三个内角分别为 $A, B, C$，则\[m=\sin A \cos B+\sin B \cos C+\sin C \cos A\]的最大值为_______．
若方程 $\log _2\left(k\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\right)=2 \log _2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)$ 仅有一个实数解，则满足条件的 $k$ 的最大值等于_______．
已知点 $A(2,1)$ 在椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上，且该椭圆的离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$．直线 $l$ 交椭圆于 $P, Q$ 两点，直线 $A P, A Q$ 的斜率之和为零．
1、求椭圆的标准方程．
2、若 $\cos \angle P A Q=\dfrac{1}{3}$，求 $\triangle P A Q$ 的面积．
如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，$O_{1}, O_{2}$ 为圆柱上下底面的圆心，$O$ 为球心，$CD,EF$ 分别为底面圆 $O_{1},O_2$ 的一条直径，若球的半径 $r=2$，则（ ）
A．球与圆柱的体积之比为 $2: 3$
B．四面体 $C D E F$ 的体积的取值范围为 $(0,32]$
C．平面 $D E F$ 截得球的截面面积最小值为 $\dfrac{4 \pi}{5}$
D．若 $P$ 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则 $|PE|+|PF|$ 的取值范围为 $ \left[2+2 \sqrt{5},4 \sqrt{3}\right]$
已知正四棱锥 $O-A B C D$ 的底面边长为 $\sqrt{6}$，高为 $ 3$．以点 $O$ 为球心，$\sqrt{2}$ 为半径的球 $O$ 与过点 $A, B, C, D$ 的球 $O_1$ 相交，相交圆的面积为 $\pi$，则球 $O_1$ 的半径可能为（ ）
A．$\dfrac{\sqrt{13}}{2}$
B．$\sqrt{3}$
C．$\sqrt{6}$
D．$\dfrac{\sqrt{97}}{4}$
一部电视连续剧共有 $n+1$（$n \geqslant 10$）集，某同学看了第一集后，被该电视剧的剧情所吸引，制定了如下的观看计划：
① 从看完第一集后的第一天算起，把余下的 $n$ 集电视剧随机分配在 $2 n$ 天内；
② 每天要么不看，要么看完完整的一集；
③ 每天至多看一集． 已知这部电视剧最 精彩的部分在第 $n$ 集，
设该同学观看第一集后的第 $X$ 天观看该集．
1、写出 $X$ 的分布列，并证明：最有可能在第 $(2 n-2)$ 天观看最精彩的第 $n$ 集．
2、求 $E(X)$．
函数 $f(x)=\left(x+\dfrac{a}{x}\right) \ln |x|+b$（$a, b \in \mathbb{R}$），则（ ）
A．$\exists a \in \mathbb{R}$，使得 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上递减
B．$\exists a, b \in \mathbb{R}$，使得直线 $y=2 x-1$ 为曲线 $y=f(x)$ 的切线
C．$\exists a \in \mathbb{R}$，使得 $b$ 既为 $f(x)$ 的极大值也为 $f(x)$ 的极小值
D．$\exists a, b \in \mathbb{R}$，使得 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有两个零点 $x_1, x_2$，且 $x_1 x_2=1$
