若长方体的长、宽、高都是自然数，且所有棱长之和等于它的体积，则称此长方体为“完美长方体”．“完美长方体”的体积的最大值为_______．
设 $x_0>0$，$x_0 \neq \sqrt{3}$，$ Q\left(x_0, 0\right)$，$P(0,4)$，直线 $P Q$ 与双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}{3}=1$ 相交于 $A,B$ 两点．若 $\overrightarrow{P Q}=t \overrightarrow{Q A}=(2-t) \overrightarrow{Q B}$，则 $x_0=$______．
已知 $x,y,z$ 都是正数，且 $$ (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)>0, $$ 求证：\[x(y+z)^2+y(z+x)^2+z(x+y)^2-\left(x^3+y^3+z^3\right) \leqslant 9 x y z.\]
设 $a$ 为正整数，$3 \mid a$，$f(1)=a$．令\[f(n+1)=\begin{cases} \sqrt{f(n)}, & \sqrt{f(n)} \in \mathbb{Z}, \\ f(n)+3, & \sqrt{f(n)} \notin \mathbb{Z},\end{cases}\]其中 $ n \geqslant 1$．求证：存在 $M$ 使得 $f(n) \leqslant M$（$n \geqslant 1$）．
工兵用信号探测器，探测边长为 $2$ 千米的等边三角形区域内的地雷，已知探测器的有效作业距离为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 千米．从三角形的一个顶点出发，工兵至少需要行走多少距离才能完成探测任务？（要求说明理由）
已知函数 $f(x)$ 是定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数，$f^{\prime}(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数，若 $x^2 f^{\prime}(x)+x f(x)={\rm e}^{\frac{1}{2} x}$，且 $f(2)=\dfrac{\rm e}{2}$，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 $f(x)$ 在定义域上有极小值
B．函数 $f(x)$ 在定义域上单调递增
C．函数 $H(x)=xf(x)-{\rm e}\ln x$ 在 $(0,2)$ 上单调递减
D．不等式 $f(x)>\dfrac{{\rm e}^{\frac{1}{2} x}+{\rm e}}{4}$ 的解集为 $(2,+\infty)$
平面 $\alpha$ 与长方体的六个面所成的角分别为 $\theta_i$（$i=1,2,3, \cdots, 6$），则 $\displaystyle\sum_{i=1}^6 \sin ^2 \theta_i$ 的值为（ ）
A．$2$
B．$3$
C．$4$
D．$6$
甲、乙二人轮流给一个正方体的棱涂色，首先，甲任选 $ 3$ 条棱涂成红色，然后乙从余下的 $9$ 条棱中任选 $3 $ 条涂成绿色，接着甲从余下的 $ 6 $ 条棱中任选 $3$ 条涂成红色，最后乙将余下的 $3 $ 条棱涂成绿色，如果甲能将某个面上的 $4 $ 条边全都涂成红色，甲就获胜，试问甲有必胜的策略吗？说明理由．
正数 $a,b$ 满足 $a+b=1$，求证：$\left(\dfrac{1}{a^2}-a^3\right)\left(\dfrac{1}{b^2}-b^3\right) \geqslant\left(\dfrac{31}{8}\right)^2$．
函数 $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$ 的图象酷似教师批改作业时所画的“对勾”，所以我们常称 $f(x)$ 为“对勾函数”，其图象是渐近线分别为 $l_1: x=0$（即 $y$ 轴）与 $l_2: y=x$ 的双曲线．
1、求函数 $f(x)$ 图象的顶点坐标与离心率．
2、求函数 $f(x)$ 图象的焦点坐标．
