已知半径为 $ 1$ 的圆上有 $2022 $ 个点，求证：至少存在一个凸 $337 $ 边形，它的面积小于 $0.1$．（$\pi \approx 3.142$，$\sqrt{3} \approx 1.732$）
甲烷分子 $\mathrm{CH}_4$ 的四个氢原子位于棱长为 $1$ 的正四面体的四个顶点，碳原子 ${\rm C}$ 位于正四面体的中心 $C_0$．记四个氢原子分别为 $H_1,H_2,H_3,H_4$，则 $\displaystyle\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant 4} \overrightarrow{C_0 H_i} \cdot \overrightarrow{C_0 H_j}=$ _______．
存在 $x\in\mathbb R$，使 $x^2+|x-a|-2<0$ 成立，其中 $a \in \mathbb{Z}$，则所有满足条件的 $a$ 的和为_______．
如图，$M,N$ 分别是 ${\rm Rt}\triangle A B C$ 两直角边对应射线 $AB,AC$ 上的动点（不包含端点 $A$），$P$ 是线段 $M N$ 的中点，则以下结论正确的是（ ）
A．当 $\triangle A M N$ 的面积为定值时，点 $P$ 的轨迹为双曲线的一支
B．当 $|M N|$ 为定值时，点 $P$ 的轨迹为一圆弧
C．当 $|A M|+|A N|$ 为定值时，点 $P$ 的轨迹为空端点线段
D．当 $\triangle A M N$ 的周长为定值时，点 $P$ 的轨迹为抛物线
如图，$C_1,C_2$ 是离心率都为 $e$ 的椭圆，点 $A,B$ 是 $C_2$ 的顶点，过 $A,B$ 两点分别作 $C_1$ 的切线 $l_1,l_2$．若直线 $l_1,l_2$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，则 $\left|k_1 k_2\right|$ 的值为（ ）
A．$e^2$
B．$e^2-1$
C．$1-e^2$
D．$\dfrac{1}{e^2}$
比较 $\dfrac{\pi}6$ 与 $\sqrt{2-\sqrt 3}$ 的大小（按从小到大排列）：_______．
设函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$，且满足 $$ f(x)-2 x f\left(\frac{1}{x}\right)+x^2=0, $$ 则 $f(x)$ 的最小值为_______．
设 $f(x)=m x^2+(2 n+1) x-m-2$（$m, n \in \mathbb{R}$，$m \neq 0$）在 $[3,4]$ 上至少有一个零点，则 $m^2+n^2$ 的最小值是______．
已知等差数列 $\{a_n\}$ 的公差 $d\neq0$，等比数列 $\{b_n\}$ 的公比 $q$ 为小于 $1$ 的正有理数．若 $a_1=d$，$b_1=d^2$，且 $\dfrac{a_1^2+a_2^2+a_3^2}{b_1+b_2+b_3}$ 为正整数，则 $q=$ _______．
