某校 $n$ 名同学通过选拔进人学校的数学讨论班，在一次讨论班上他们讨论 $A,B$ 和 $C$ 三个问题．已知每位同学都和班里的其他所有同学讨论了其中的一个问题，每两位同学只讨论一个问题．若至少有 $3$ 名同学互相之间讨论的是同一个问题，求 $n$ 的最小值，并给出证明．
设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义．对任意的 $x_{1},x_{2} \in I$，$t$（$0 \leqslant t \leqslant 1$），不等式\[f\left((1-t) x_{1}+t x_{2}\right) \leqslant(1-t) f\left(x_{1}\right)+t f\left(x_{2}\right)\]总成立．设 $n \geqslant 2$，$1 \leqslant i \leqslant n$，$x_{i} \in I$，$p_{i} \geqslant 0$ 且 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} p_{i}=1$．证明： $$ f\left(\sum_{i=1}^{n} p_{i} x_{i}\right) \leqslant \sum_{i=1}^{n} p_{i} f\left(x_{i}\right). $$
设 $\sin \alpha+\sin \beta=\dfrac{4}{5} \sqrt{2}$，$\cos \alpha+\cos \beta=\dfrac{4}{5} \sqrt{3}$，则 $\tan \alpha+\tan \beta=$ _______．
设 $n$ 为正整数，函数 $f_{n}(x)=\dfrac{n+x+\dfrac{1}{n+x}}{n+1}, x \in(0,1)$ 的值域为 $I_{n}$，$I=\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} I_{n}$，则 $I=$ _______．
已知 $x y+y z+z x=1$，其中 $x,y,z$ 均为正数，则 $\sqrt{3 x y+1}+\sqrt{3 y z+1}+\sqrt{3 z x+1}$ 的整数部分为_______．
设 $x, y, z>0$，$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$，证明： $$ \frac{x^{4}+y^{2} z^{2}}{x^{\frac{5}{2}}(y+z)}+\frac{y^{4}+z^{2} x^{2}}{y^{\frac{5}{2}}(z+x)}+\frac{z^{4}+y^{2} x^{2}}{z^{\frac{5}{2}}(y+x)} \geqslant 1. $$
设数集 $P=\left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m}\right\}$，它的平均数 $$ C_{P}=\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{m}}{m}. $$ 现将 $S=\{1,2, \cdots, n\}$ 分成两个非空且不相交子集 $A,B$，求 $\mid C_{A}-$ $C_{B} \mid$ 的最大值，并讨论取到最大值时不同的有序数对 $(A, B)$ 的数目．
设 $n$ 为给定的正整数，$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 为满足对每个 $m \leqslant n$ 都有 $\displaystyle\left|\sum_{k=1}^{m} \frac{a_{k}}{k}\right| \leqslant 1$ 的一列实数，求 $\displaystyle\left|\sum_{k=1}^{n} a_{k}\right|$ 的最大值．
已知二次函数 $f(x)=x^{2}+a x+b$（$a, b \in \mathbb{R}$）有两个不同的零点．若 $f\left(x^{2}+2 x-1\right)=0$ 有四个实数解 $x_1,x_2,x_3,x_4$（$x_{1}<x_{2}<x_{3}<x_{4}$），且 $x_{1},x_2,x_3,x_{4}$ 成等差数列，求 $a-b$ 的取值范围．
设数列 $a_{n+1}=\left[\dfrac{a_{n}}{2}\right]+\left[\dfrac{a_{n}}{3}\right]$，$ n=1,2, \cdots, 7$，这里 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．若 $a_{8}=8$，则正整数 $a_{1}$ 有_______种可能的取值情况．
