每日一题[3418]最大似然

在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球 $n$ 次，红球出现 $m$ 次．假设每次摸出红球的概率为 $p$，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率 $p$ 的估计值为 $\hat p=\dfrac m n$．

1、若袋中这两种颜色球的个数之比为 $1: 3$，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取 $3$ 个球，设摸出的球为红球的次数为 $Y$，则 $Y\sim B(3,p)$． 注：$P_p(Y=k)$ 表示当每次摸出红球的概率为 $p$ 时，摸出红球次数为 $k$ 的概率） ① 完成下表；\[\begin{array}{l|l|l|l|l}\hline k & 0 & 1 & 2 & 3\\\hline P_{\frac 1 4}(Y=k) & \dfrac{27}{64} & & & \dfrac 1{64}\\\hline P_{\frac 3 4}(Y=k) & & \dfrac 9{64} & & \dfrac{27}{64}\\\hline \end{array}\] ② 在统计理论中，把使得 $P_p(Y=k)$ 的取值达到最大时的 $p$，作为 $p$ 的估计值，记为 $\hat p$，请写出 $\hat p$ 的值．

2、把 $(1)$ 中 "使得 $P_p(Y=k)$ 的取值达到最大时的 $p$ 作为 $p$ 的估计值 $\hat p$ " 的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．具体步骤：先对参数 $\theta$ 构建对数似然函数 $l(\theta)$，再对其关于参数 $\theta$ 求导，得到似然方程 $l^{\prime}(\theta)=0$，最后求解参数 $\theta$ 的估计值．已知 $Y\sim B(n,p)$ 的参数 $p$ 的对数似然函数为\[l(p)=\displaystyle\sum_{i=1}^n X_i\ln p+\sum_{i=1}^n\left(1-X_i\right)\ln (1-p),\]其中 $X_i=\begin{cases}0,&\text{第}~i~\text{次摸出白球}\\1,&\text{第}~i~\text{次摸出红球}\end{cases}$．求参数 $p$ 的估计值，并且说明频率估计概率的合理性．

解析

1、①\[\begin{array}{l|l|l|l|l}\hline k & 0 & 1 & 2 & 3\\\hline P_{\frac 1 4}(Y=k) & \dfrac{27}{64} &\dfrac{27}{64} &\dfrac9{64} & \dfrac 1{64}\\\hline P_{\frac 3 4}(Y=k) & \dfrac{1}{64}& \dfrac 9{64} & \dfrac{27}{64}& \dfrac{27}{64}\\\hline \end{array}\]

② 根据 $p$ 的估值值的定义，有 $\hat p=\dfrac{27}{64}$．

2、设 $\displaystyle\sum_{i=1}^n X_i=a$，$\displaystyle\sum_{i=1}^n (1-X_i)=b$，则 $a+b=n$，且\[l(p)=a\ln p+b\ln (1-p),\]于是\[l'(p)=\dfrac ap-\dfrac {b}{1-p}=\dfrac{a-(a+b)p}{p(1-p)},\]因此当 $p=\dfrac a{a+b}$ 即 $p=\dfrac an$ 时符合要求，即参数 $p$ 的估计值为 $\dfrac an$．