已知定义在 $\mathbb R$ 上的奇函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=1$，且对任意 $x<0$，均有 $f\left(\dfrac 1x\right)=xf\left(\dfrac 1{1-x}\right)$，$n$ 是不小于 $2$ 的正整数，则 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n-1}f\left(\dfrac 1k\right)f\left(\dfrac{1}{n-k}\right)=$ _____．
已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$，离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，设 $P\left(x_0, y_0\right)$ 是第一象限内椭圆 $C$ 上一点，$P F_1, P F_2$ 的延长线分别交椭圆 $C$ 于点 $A, B$，连接 $O P, A B, A F_2$，$\triangle A P F_2$ 的周长为 $4 \sqrt{2}$．
1、求椭圆 $C$ 的方程；
2、当 $P F_2 \perp x$ 轴时，求 $\triangle P A F_2$ 的面积；
3、分别记 $O P, A B$ 的斜率为 $k_1, k_2$，求证：$k_1k_2$ 为定值．
已知函数 $f(x)={\rm e}^{x}-a x \sin x-x-1$，其中 $a \in\mathbb R$．
1、当 $a=0$ 时，证明：$f(x) \geqslant 0$ 恒成立．
2、若函数 $f(x)$ 在 $(0, \pi)$ 上有唯一零点，求 $a$ 的取值范围．
设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 均为非负实数，证明： $$\frac{a_{1}}{a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}+\frac{a_{2}}{a_{1}^{2}+a_{3}^{2} \cdots+a_{n}^{2}}+\cdots+\frac{a_{n}}{a_{1}^{2}+\cdots+a_{n-1}^{2}} \geqslant \frac{4}{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}} . $$
已知数列 $\left\{x_{n}\right\}$（$n \in \mathbb{N}^{\ast}$）满足 $x_{n}>1$，$\mathrm{e}$ 为自然对数的底数，记\[ \begin{cases} A=x_{1} x_{2} \cdots x_{n}, \\ B=x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n},\\ C=\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}+\cdots+\dfrac{1}{x_{n}} ,\end{cases}\]证明：$A^{2}<\mathrm{e}^{B-C}$．
已知复数 $z$ 满足 $|z|=1$，则 $\left|z^{2}-2 z+3\right|$ 的最小值为_______．
已知圆 $C: x^{2}+y^{2}-4 x-2 y=0$，直线 $l: x+y+1=0$，$P$ 为 $l$ 上的动点，过点 $P$ 作圆 $C$ 的切线 $P A,P B$，且切点为 $A,B$，当 $|P C| \cdot|A B|$ 最小时，则直线 $A B$ 的方程为_______．
已知无穷正整数数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+2}=\dfrac{a_n+2023}{a_{n+1}+1}$（$n \in \mathbb N^{\ast}$），则 $a_1$ 的可能值有（ ）个
A．$2$
B．$4$
C．$6$
D．$9$
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1$，$a_{2}=1$，$a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$，$n \in \mathbb{N}^{\ast}$，则（ ）
A．只存在有限个正整数 $m$，使得 $a_{m}$ 与 $a_{m+1}$ 互素
B．至少存在一个正整数 $m$，使得 $a_{m+2} \cdot a_{m}=a_{m+1}^{2}$
C．存在无穷多的正整数 $p$ 和 $q$，使得 $a_{p} a_{q}-1$ 为完全平方数
D．存在无穷多的正整数对 $(m, n)$，使得 $a_{m} \mid\left(a_{n}^{2}+1\right)$，且 $a_{n} \mid\left(a_{m}^{2}+1\right)$
设 $a, b \in \mathbb{N}^{\ast}$，且满足 $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{2021}$，则所有正整数对 $(a, b)$ 的个数为（ ）
A．$2020$
B．$2021$
C．$3$
D．$4$
