在平面内，曲线 $C$ 是动点 $P(x,y)$ 到定点 $A(-2,0)$，$B(2,0)$ 距离之积为常数 $k$（$k>0$）的点的轨迹．巳知 $C$ 过原点 $O$，则（ ）
A．$k=4$
B．$C$ 关于直线 $y=x$ 对称
C．$\triangle PAB$ 面积的最大值为 $2$
D．$|OP|\leqslant 2\sqrt 2$
每日一题[3301]纠缠不清
已知函数 $f(x)=A\cos(\omega x+\varphi)$（$A>0$，$\omega>0$，$0<\varphi<\pi$），若 $f(x)$ 及其导函数 $f'(x)$ 的部分图象如图所示，则[[nn]]
A．$\varphi=\dfrac{\pi}3$
B．函数 $f^{\prime}(x)$ 在区间 $\left(\dfrac{\pi}3,\dfrac{2\pi}3\right)$ 上单调递增
C．$f(x)$ 的图象关于直线 $x=-\dfrac{\pi}6$ 对称
D．$f(x)+f^{\prime}(x)$ 的最大值为 $3$
每日一题[3300]倍缩函数
设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，若函數 $f(x)$ 满足条件：存在 $[a,b]\subseteq D$，使 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值为 $\dfrac a n$，最大值为 $\dfrac b n$，其中 $n$ 为正整数，则称 $f(x)$ 为 $n$ 倍缩函数．若函数 $f(x)=\log_4\left(2^x+t\right)$ 为 $4$ 倍缩函数，则实数 $t$ 的取值范围是（ ）
A．$\left(0,\dfrac 1 4\right]$
B．$\left(0,\dfrac 1 4\right)$
C．$\left(-\infty,\dfrac 1 4\right]$
D．$\left(-\infty,\dfrac 14\right)$
每日一题[3299]三角代换
已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}^2=2-\dfrac 2{a_n+1}$．
1、若 $a_3=a_4$，求 $a_7$；
2、若 $a_1=\sqrt 2$，求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
3、记 $S_n$ 为数列 $\left\{\dfrac 1{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_2^2=\dfrac{\sqrt 3}2+1$，证明：$\dfrac 1 2\leqslant n-S_n<\dfrac 3 4$．
每日一题[3298]切线条数
已知函数 $f(x)=x^3-3 x^2-x+3$．
1、求 $\displaystyle\sum_{i=1}^7 f\left(\dfrac i 4\right)$；
2、若曲线 $y=f(x)+a\ln x$（$x\in(3,4)$）存在两条相互垂直的切线，求 $a$ 的取值范围；
3、设 $y$ 轴右侧有一点 $M$，若当且仅当过点 $M$ 恰好能作曲线 $y=f(x)$ 的 $3$ 条切线，求点 $M$ 的集合．
每日一题[3297]投影位置
在平面四边形 $ABCD$ 中，$AB\perp AD$，$\angle ADC=4\angle ACD=120^{\circ}$，$CD=2$，$\triangle ABC$ 的面积为 $3\sqrt 3$，将 $\triangle ABD$ 沿 $BD$ 翻折至 $\triangle PBD$，其中 $P$ 为动点．
1、证明：三棱锥 $P-BCD$ 外接球的体积为定值；
2、当点 $C$ 到平面 $PBD$ 的距离为 $\dfrac{2\sqrt 6}3$，求直线 $PB$ 与直线 $CD$ 所成角的余弦值．
每日一题[3296]三角与面积法
在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$ 在 $BC$ 边上，$AD$ 平分 $\angle BAC$，设 $AB=m AC$，$AD=n AC$．
1、若 $\dfrac m n=2$，$\angle DAC+\angle BAC=\pi$，证明：$AB=AC$；
2、若 $m=3$，求 $n$ 的取值范围．
每日一题[3295]状态转移
在如图斜方格阵中，一机器人从中心方格 $O$ 出发，每次运动可以跨越机器人所在方格的一条边（如第 $1$ 次运动，机器人可以运动到 $Q_1,Q_2,Q_3,Q_4$ 中的某个方格）．将机器人走出斜方格阵视为失败，反之视为成功，则运动 $2025$ 次后机器人成功的概率为_____．
每日一题[3294]五棱齐聚
一个四面体有 $5$ 条棱的棱长为 $2\sqrt 3$，且外接球的表面积为 $\dfrac{84}5\pi$，则不同于这 $5$ 条棱的棱的棱长为_____．
每日一题[3293]穹顶与割圆术
自元朝以来，穹顶便广泛应用于中国建筑中．作为＂北京十六景＂之一的地标性建筑，国家大剧院也采纳了穹顶设计．初步设计穹顶建模的步骤大致为：
步骤一 将半径为 $1$ 的圆 $O$（圆心为 $O$）沿直径 $PQ$ 分为两部分，得到半圆弧；
步骤二 保留其中一个半圆弧，将其 $n$（$n\geqslant 2$，$n\in\mathbb N^{\ast}$）等分，从端点 $P$ 出发依次连接各个等分点至另一个端点 $Q$，得到折线 $P-A_1-A_2-\cdots-A_{n-1}-Q$；
步骤三 将折线绕 $PQ$ 所在直线旋转，得到旋转体；
步骤四 不断调整 $n$ 值至合适，选取需要的旋转体部分并进行再调整． 设步骤三所得旋转体的表面积为 $S_n$，$\angle POA_k$ 的正弦值为 $T_k$（$k\leqslant n-1$，$k\in\mathbb N^{\ast}$），则（ ）
A．$0<\dfrac{S_{n+1}-S_n}{S_{n+1}+S_n}<5-2\sqrt 6$
B．$\dfrac{S_2}{S_3}=\dfrac{2\sqrt 2}3$
C．当 $n=180$ 时，$\dfrac{T_{29}}{T_{30}}>\dfrac{29}{30}$
D．$S_{99}>\dfrac{395}{99}\pi$