设 $a>0$,函数 $f(x)=\begin{cases} x+2, &x<-a, \\ \sqrt{a^2-x^2},&-a \leqslant x \leqslant a,\\ -\sqrt{x}-1, &x>a. \end{cases}$ 给出下列四个结论:
① $f(x)$ 在区间 $(a-1,+\infty)$ 上单调递減;
② 当 $a \geqslant 1$ 时,$f(x)$ 存在最大值;
③ 设 $M\left(x_1, f\left(x_1\right)\right)$($x_1 \leqslant a$),$N\left(x_2, f\left(x_2\right)\right)$($x_2>a$),则 $|M N|>1$;
④ 设 $P\left(x_3, f\left(x_3\right)\right)$($x_3<-a$),$ Q\left(x_4, f\left(x_4\right)\right)$($x_4 \geqslant-a$).若 $|P Q|$ 存在最小值,则 $a$ 的取值范围是 $\left(0, \dfrac{1}{2}\right]$.
其中所有正确结论的序号是_______.
答案 ②③.
解析 函数 $f(x)$ 的图象如图,其中半圆的半径为 $r$.
① 当 $a=\dfrac 12$ 时,$f(x)$ 在 $\left(-\dfrac 12,0\right)$ 上单调递增,结论错误;
② 当 $a\geqslant 1$ 时,有\[f(x)\begin{cases} <2-a,&x<-a,\\
\leqslant a,&-a\leqslant x\leqslant a,\\
<-\sqrt a-1,&x>a,\end{cases}\leqslant a,\]等号当且仅当 $x=0$ 时取得,因此 $f(x)$ 存在最大值 $a$,结论正确;
③ 根据题意,$N\left(a,-\sqrt a-1\right)$,记直线 $l:y=x+2$,$A(a,0)$,有\[|MN|\geqslant \begin{cases} d(N,l),&x_1<-a,\\
|PN|,&-a\leqslant x_1\leqslant a,\end{cases}=\begin{cases} \dfrac{a+\sqrt a+2}{\sqrt 2},&x_1<-a,\\
\sqrt a+1,&-a\leqslant x_1\leqslant a,\end{cases}>1,
\]结论正确;
④ 根据题意,原点 $O$ 在直线 $y=x$ 上的投影横坐标小于 $-a$,因此 $a$ 的取值范围是 $\left(0,1\right)$,结论错误.
综上所述,结论 ②③ 正确.