已知数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 的项数均为 $m$（$m>2$），且 $a_n, b_n \in\{1,2, \cdots, m\}$，$\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $A_n,B_n$，并规定 $A_0=B_0=0$．对于 $k \in\{0,1,2, \cdots, m\}$，定义 $$ r_k=\max \left\{i \mid B_i \leqslant A_k, i \in\{0,1,2, \cdots, m\}\right\}, $$ 其中，$\max M$ 表示数集 $M$ 中最大的数．
1、若 $a_1=2$，$ a_2=1$，$a_3=3$，$b_1=1$，$b_2=3$，$b_3=3$，写出 $r_0, r_1, r_2, r_3$ 的值．
2、若 $a_1 \geqslant b_1$，且 $2 r_j \leqslant r_{j+1}+r_{j-1}$，$j=1,2, \cdots, m-1$，求 $r_n$．
3、证明：存在 $p, q, s, t \in\{0,1,2, \cdots, m\}$，满足 $p>q$，$s>t$，使得 $A_p+B_t=A_q+B_s$．
解析
1、根据题意，有\[\begin{array}{c|c|c|c}\hline n&1&2&3\\ \hline a_n&2&1&3\\ \hline b_n&1&3&3\\ \hline A_n&2&3&6 \\ \hline B_n&1&4&7\\ \hline\end{array}\]于是 $r_0=0$，$r_1=1$，$r_2=1$，$r_3=2$．
2、根据题意，有 $r_0=0$，$r_m\leqslant m$，由于 $a_1\geqslant b_1$，因此 $r_1\geqslant 1$，而\[2r_j\leqslant r_{j+1}+r_{j-1}\implies r_{j+1}-r_j\geqslant r_j-r_{j-1},\]因此\[r_m-r_{m-1}\geqslant r_{m-1}-r_{m-2}\geqslant\cdots\geqslant r_1-r_0\geqslant 1,\]而 $r_m-r_{m-1},r_{m-1}-r_{m-2},\cdots,r_1-r_0$ 这 $m$ 个数之和为 $m$，因此每个数均为 $1$，即 $r_n=n$（$n=0,1,\cdots,m$）．
3、不妨设 $A_m\geqslant B_m$．根据题意，有\[A_p+B_t=A_q+B_s\iff A_p-B_s=A_q-B_t,\]设 $P=\{A_1,\cdots,A_m\}$，若存在某个 $B_k$（$k=1,2,\cdots,m$）在 $P$ 中，不妨设 $B_k=A_{k'}$，则取 $(p,q,s,t)=(k',0,k,0)$ 符合题意． 若任何 $B_k$（$ k=1,2,\cdots,m $）均不在 $ P $ 中，则 $ P $ 中的元素将区间 $ [A_0,A_m] $ 划分为 $ m $ 个区间 $ Q_i=(A_{i-1},A_i)$，此时设 $ B_k $（$ k=1,2,\cdots,m $）落在 $ Q_{i(k)} $ 中，即\[A_{i(k)-1}<B_k<A_{i(k)},\]记 $ \Delta(k)=A_{i(k)}-B_k $，则有\[\Delta(k)\in\{1,2,\cdots,m-1\},\quad k=1,2,\cdots,m,\]根据抽屉原理，必然存在两个 $ \Delta(k)$ 取值相等，设 $ \Delta(u)=\Delta(v)$ 且 $ u>v $，则\[A_u-B_{i(u)}=A_v-B_{i(v)}\implies B_{i(u)}-B_{i(v)}=A_u-A_v>0\implies i(u)>i(v),\]因此取 $(p,q,s,t)=\left(u,v,i(u),i(v)\right)$ 即可，命题得证．