每日一题[3089]极值判定

已知函数 $f(x)=\left(\dfrac{1}{x}+a\right) \ln (1+x)$．

1、当 $a=-1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程．

2、是否存在 $a, b$，使得曲线 $y=f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ 关于直线 $x=b$ 对称，若存在，求 $a, b$ 的值，若不存在，说明理由．

3、若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 存在极值，求 $a$ 的取值范围．

解析

1、当 $a=-1$ 时，$f(x)=\left(\dfrac 1x-1\right)\ln (1+x)$，其导函数\[f'(x)=\dfrac{1-x}{x(1+x)}-\dfrac{\ln(x+1)}{x^2},\]因此 $f(1)=0$，$f'(1)=-\ln 2$，因此所求切线方程为 $y=-x\ln 2+\ln 2$．

2、题中曲线即 $g(x)=(x+a)\ln\left(1+\dfrac 1x\right)$，函数 $g(x)$ 的定义域为 $(-\infty,-1)\cup (0,+\infty)$，因此 $y=g(x)$ 关于 $x=b$ 对称，则 $b=-\dfrac 12$．此时 $g(1)=(1+a)\ln 2$，$g(-2)=(2-a)\ln 2$，因此\[g(1)=g(-2)\iff a=\dfrac 12,\]经验证当 $a=\dfrac 12$，$b=-\dfrac 12$ 时，曲线 $y=g(x)$ 关于 $x=-\dfrac 12$ 对称，符合题意．因此 $a,b$ 的值为 $a=\dfrac 12$，$b=-\dfrac 12$．

3、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\left(\ln(x+1)-\dfrac{ax^2+x}{x+1}\right),\]设 $g(x)=\ln(x+1)-\dfrac{ax^2+x}{x+1}$，则 $g(0)=0$，其导函数\[g'(x)=-\dfrac{x}{(1+x)^2}\cdot(ax+2a-1).\]

情形一    $a\leqslant 0$．此时在 $x\in(0,+\infty)$ 上，$g'(x)>0$，因此在该区间上 $g(x)>0$，从而 $f(x)$ 单调递减，不符合题意．

情形二     $a\geqslant \dfrac 12$．此时在在 $x\in(0,+\infty)$ 上，$g'(x)<0$，因此在该区间上 $g(x)<0$，从而 $f(x)$ 单调递增，不符合题意．

情形三     $0<a<\dfrac 12$．此时函数 $g(x)$ 在 $\left(0,\dfrac 1a-2\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac 1a-2,+\infty\right)$ 上单调递减，又当 $x>1$ 时，有\[g(x)<2\ln\sqrt{x+1}-\dfrac{ax^2}{x+1}<2\left(\sqrt{x+1}-1\right)-\dfrac{ax^2}{x+1}<2\sqrt{2x}-\dfrac{ax^2}{2x}=\sqrt x\left(2\sqrt 2-\dfrac a2\sqrt x\right),\]因此取 $x_0=\dfrac{32}{a^2}$，则 $g(x_0)<0$，因此函数 $g(x)$ 在 $\left(\dfrac 1a-2,\dfrac{32}{a^2}\right)$ 上存在变号零点，即 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上存在极值，符合题意．

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac 12\right)$．