Math173

已知 $a\in\mathbb R$，函数 $f(x)=1-a\sin x-\cos 2 x$． 若 $a=2$，

1、求 $f(x)$ 在 $(0,\pi)$ 上的极大值；

2、若函数 $g(x)=f(x)-f\left(\dfrac{\pi}2+x\right)$，讨论函数 $g(x)$ 在 $[0,\pi]$ 上零点的个数．

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程大位（$1533-1606$）是明代珠算发明家，徽州人．他所编撰的《直指算法统宗》是最早记载珠算开平方、开立方方法的古算书之一，它完成了计算由筹算向珠算的转变，使算盘成为主要的计算工具．算盘其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称档．现有一种算盘（如图 $1$）共三档，自右向左分别表示个位、十位和百位，档中横以梁，梁上一珠，下拨一珠记作数字 $5$：梁下五珠，上拨一珠记作数字 $1$．例如：图 $2$ 中算盘表示整数 $506$．如果拨动图 $ 1$ 中算盘的 $3$ 枚算珠，则可以表示不同的三位整数的个数为_____．

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已知 $ F_1,F_2 $ 分别是椭圆 $ \dfrac{x^2}8+\dfrac{y^2}4=1 $ 的左、右焦点，$ P,A,B $ 为椭圆上三个不同的点，直线 $ PA $ 的方程为 $ x=2 $，且 $ \angle APB $ 的平分线经过点 $ Q(1,0)$，设 $ \triangle AF_1 F_2,\triangle BF_1 F_2 $ 内切圆的半径分别为 $ r_1,r_2 $，则 $ \dfrac{r_1}{r_2}=$_____．

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已知布尔数集 $A=\{0,1\}$，$p$ 为大于 $1$ 的奇数，考虑以下定义：

定义一    称由 $p^2$ 个属于集合 $A$ 的数构成的 $p$ 行 $p$ 列的数表为 $p$ 型布尔数表，记为 $\Gamma_p$，其第 $i$ 行第 $j$ 列的数被记为 $\Gamma_p(i,j)$，$(i,j)$ 被称为该数的坐标；

定义二    称满足 $\{|a-c|-1,|b-d|-1\}=A$ 的坐标 $(a,b),(c,d)$ 互为 $H$ 交换坐标；

定义三    若对于任意位于 $(x,y)$ 的 $H$ 交换坐标的数 $x_0$，都有 $x_0\cdot\Gamma_p(x,y)=0$，则称坐标 $(x,y)$ 是单次 $H$ 完备的．称所有坐标都是单次 $H$ 完备的的数表 $\Gamma_p$ 为 $H$ 数表．

1、直接写出每行每列都只有一个 $1$ 的所有 $H$ 数表 $\Gamma_3$；

2、记 $S_p$ 为 $H$ 数表 $\Gamma_p$ 中所有数的和；

① 写出 $S_3$ 和 $S_5$ 的最大值并证明；

② 试猜想 $S_p$ 的最大值与 $p$ 的关系式，并证明你的猜想．

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已知平面直角坐标系点 $A(-1,0),B(1,0),P\left(x_0,y_0\right)$，且 $\triangle PAB$ 满足 $\tan\dfrac{\angle PAB}2=\dfrac{PB}{AP+AB}$．

1、判断 $(0,-1)$ 能否作为 $P$ 点的坐标；

2、证明：$\triangle PAB$ 为直角三角形；

3、记点 $P$ 的轨迹为曲线 $\Omega$，过点 $(2,1)$ 的直线 $l$ 从左到右依次交 $\Omega$ 于 $M,N,Q$ 三点， 若满足 $|MQ|\cdot|NQ|=m$ 的 $l$ 有且只有一条，求 $m$ 的取值范围．

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已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_1=\dfrac 1 2$，对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$，有 $\dfrac{S_n}{a_n}=2^n-\lambda$，其中 $\lambda$ 为定值．

1、求 $\lambda$ 的值以及数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；

2、求集合 $A=\left\{x\mid x=\cos\dfrac{\pi}{12 a_n},n\in\mathbb N^{\ast}\right\}$ 的元素个数．

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定义数阵 $A(m,n)$（$m,n\in\mathbb N^{\ast}$）如下：\[ A(1,n)=\dfrac 12n,\quad A(m+1,n)=\dfrac 1n\sum_{i=1}^nA(m,i),\]则

① $A(3,9)=$ _____；

② 当 $m,n\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $m,n\leqslant 2025$ 时，$A(m,n)$ 中取值为整数的个数为_____．

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记 $m(x)$ 表示正整数 $x$ 的个位数字，如 $m(2025)=5$，若各项都为正整数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$，有 $a_{n+1}=a_n\cdot m(a_n)$，则下列说法正确的是（        ）

A．若 $a_1=3$，则 $a_{2025}=81$

B．若存在 $a_1,k\in\mathbb N^{\ast}$，使得 $a_k=2025$，则 $k$ 的所有可能取值为 $\{1,2,3\}$

C．若存在实数 $a,b$ 满足：对于任意的 $a_1\in\mathbb N^{\ast}$，都有 $\displaystyle\sum_{i=1}^n m(a_i)\leqslant a n+b$，则当 $a$ 最小值时 $b\geqslant 4$

D．若存在 $a_1,k\in\mathbb N^{\ast}$，使得有且只有一个 $n$ 满足 $\displaystyle\sum_{i=1}^n m(a_i)\geqslant n k$，则 $k$ 的取值只有 $5$ 种

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使边缘为抛物线 $x^2=2 p y$（$p>0$）图象的框架的对称轴竖直，从抛物线顶点正上方放入一个半径为 $1$ 的圆形纸板，使其只竖直下落至稳定状态，则下列说法正确的是[[nn]]

A．若圆形纸板与框架只有一个接触点，则 $p$ 的取值范围为 $\left[\dfrac 1 2,+\infty\right)$

B．若圆形纸板与框架只有一个接触点，则 $p$ 的取值范围为 $[1,+\infty)$

C．存在 $p\in\left(0,\dfrac 1 2\right]$，使得圆形纸板边缘过抛物线的焦点

D．存在 $p\in\left(\dfrac 1 2,1\right]$，使得圆形纸板边缘过抛物线的焦点

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设正整数 $n\geqslant 3$，集合 $\left\{a_1,a_2,\cdots,a_n\right\}=\{1,2,\cdots,n\}$，已知有穷数列 $A_0: ~a_1,a_2,\cdots,a_n$ 经过 一次 $M$ 变换后得到数列\[A_1:~\displaystyle\max\left\{a_1,a_2\right\},\max\left\{a_2,a_3\right\},\cdots,\max\left\{a_{n-1},a_n\right\},\max\left\{a_n,a_1\right\},\]其中 $\displaystyle\max\{a,b\}$ 表示 $a,b$ 中的最大者．记数列 $A$ 的所有项之和为 $S(A)$．

1、若 $A_0: ~1,3,2,4$，求 $S\left(A_1\right)$；

2、当 $n=5$ 时，求 $S\left(A_1\right)$ 的最大值；

3、若 $A_1$ 经过一次 $M$ 变换后得到数列 $A_2$，求 $S\left(A_2\right)$ 的最大值．

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