Math173

2024年浙江省名校协作体高三上学期开学数学考试 #13

已知正实数 $a$ 满足 $(\sqrt a)^a<a^{\sqrt a}$，则 $a$ 的取值范围是_____．

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2024年浙江省名校协作体高三上学期开学数学考试 #11

已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+2}\left(a_{n+1}-a_n\right)=a_n\left(a_{n+2}-a_{n+1}\right)$（$n\in \mathbb N^{\ast}$），记 $T_n=a_1 a_2+a_2 a_3+\cdots+a_n a_{n+1}$，$T_{12}=4$，则（        ）

A．$\left\{a_n\right\}$ 是递减数列

B．$a_{2024}=\dfrac 6{2029}$

C．存在 $n$ 使得 $T_n=\dfrac 4 3$

D．$\displaystyle\sum_{i=1}^{100}a_i>10$

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2024年浙江省名校协作体高三上学期开学数学考试 #8

正三棱台 $ABC-A_1 B_1 C_1$ 中，$AB=2 A_1 B_1=2\sqrt 3$，$AA_1=2$，点 $D$ 为棱 $AB$ 中点，直线 $l$ 为平面 $A_1 B_1 C_1$ 内的一条动直线．记二面角 $C-l-D$ 的平面角为 $\theta$，则 $\cos\theta$ 的最小值为（       ）

A．$0$

B．$\dfrac 1 8$

C．$\dfrac{\sqrt 7}{14}$

D．$\dfrac 1 7$

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2024年浙江省名校协作体高三上学期开学数学考试 #7

已知 $A,B$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$ 与双曲线 $\dfrac{x^2}4-\dfrac{y^2}3=1$ 的公共顶点，$M$ 是双曲线上一点，直线 $MA,MB$ 分别交椭圆于 $C,D$ 两点，若直线 $CD$ 过椭圆的焦点 $F$，则线段 $CD$ 的长度为（       ）

A．$\dfrac 3 2$

B．$3$

C．$2\sqrt 3$

D．$\dfrac 3 2\sqrt 3$

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2024年清华大学暑期工科营数学试题 #8

已知函数 $f(x)=a \sin \dfrac{x}{2} \cos \dfrac x2+2 \cos ^2 \dfrac{x}{2}+1$，$x \in(0,2 \pi)$，$f(x)$ 的最大值为 $\sqrt{10}+2$，且在 $\left(0, \dfrac{\pi}{4}\right)$ 上单调递增．

（1）求 $a$ 的值；

（2）若 $y=2$ 与 $f(x)$ 相交于点 $A$，过 $A$ 点的直线与 $f(x)$ 交于两点，横坐标为 $x_1, x_2$，求 $\sin \left(x_1+x_2\right)$；

（3）若 $f\left(x_1\right) f\left(x_2\right)=2$，求 $\cos \left(x_1-x_2\right)$．

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2024年清华大学暑期工科营数学试题 #4

直线 $l: \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$ 与圆 $x^2+y^2=25$ 有横、纵坐标都为整数的交点，则满足条件的直线 $l$ 有_____条．

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2024年清华大学暑期工科营数学试题 #3

已知 $a,b\in \mathbb R$ 且 $a^2+b^2\ne 0$，$M=\min \left\{a, \dfrac{b}{a^2+b^2}\right\}$，则 $M$ 的最大值为_____．

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2024年清华大学暑期文科营数学试题 #14

已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），直线 $l$ 经过坐标原点，与 $l$ 平行的直线与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，其中点 $A(2, \sqrt{2})$，当直线 $l \perp x$ 轴时，直线 $A B$ 经过椭圆的焦点．

（1）求椭圆 $C$ 的方程；

（2）若点 $D, E, G, H$ 满足 $3\overrightarrow{O E}=\overrightarrow{O D}=-\overrightarrow{O B}$，直线 $A E$ 交 $l$ 于点 $G$，直线 $D G$ 交 $A B$ 于点 $H$，求 $\triangle A G H$ 面积的取值范围．

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2024年清华大学暑期文科营数学试题 #12

已知公差不为 $ 0 $ 的等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=2$，且 $a_1, a_3, a_7$ 成等比数列．

（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；

（2）若数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_1=1$，$b_n b_{n+1}=a_n$，

① 求证：$b_{2 n}=\dfrac{4^n}{\mathop{\rm C}\nolimits_ {2 n}^n}$；

② 是否存在 $n \in \mathbb N^{\ast}$，使得 $\displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{b_i}<2 \sqrt{n+1}-2$．

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2024年清华大学暑期文科营数学试题 #8

已知不等式 $x|x-a|<1$ 的解集为 $P$，若 $(0,1] \subseteq P$，则实数 $a$ 的取值范围是_____．

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