Math173

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1 , F_2$，$B$ 为上顶点，离心率为 $\dfrac 1 2$，直线 $BF_2$ 与圆 $4 x^2+4 y^2-3=0$ 相切．

1、求椭圆 $C$ 的标准方程．

2、过 $F_2$ 作直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点．

① 若 $\overrightarrow{MF_2}=\lambda\overrightarrow{F_2 N}$（$1<\lambda<2$），求 $\triangle MON$ 面积的取值范围；

② 若 $l$ 斜率存在，是否存在椭圆 $G$ 上一点 $Q$ 及 $x$ 轴上一点 $P\left(t,0\right)$，使四边形 $PMQN$ 为菱形？若存在，求 $t$．若不存在，请说明理由．

继续阅读 →

已知 $a$ 为常数，函数 $f(x)=x\ln x+a x^2$．

1、当 $a=1$ 时，求 $f(x)$ 在 $x=1$ 处切线方程．

2、讨论函数 $f(x)$ 的零点个数．

3、若函数 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$），求证：$-\dfrac 1 2<f\left(x_1\right)<0$．

继续阅读 →

已知抛物线 $y=\dfrac{x^2}4$，经过焦点 $F$ 斜率为 $k$（$k\neq 0$）的直线交抛物线于 $A,B$ 两点，线段 $AB$ 的垂直平分线交 $y$ 轴于点 $C$，则 $\dfrac{|AB|}{|CF|}$ 的值为_______．

继续阅读 →

双曲线 $C:\dfrac{x^2}{12}-\dfrac{y^2}4=1$ 的右焦点为 $F$，双曲线 $C$ 上有两点 $A,B$ 关于直线 $l: 3 x+y-8=0$ 对称，则 $\left|\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{FB}\right|=$（       ）

A．$2\sqrt 2$

B．$4\sqrt 2$

C．$2\sqrt 3$

D．$4\sqrt 3$

继续阅读 →

"不以规矩，不能成方圆"出自《孟子・离娄章句上》．"规" 指圆规，"矩" 指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量，画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以"矩" 量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角 $\alpha$ 满足 $\cos\alpha=\dfrac 1 3$，则这块四边形木板周长的最大值为（        ）

A．$\dfrac{10(\sqrt{30}+\sqrt{15})}3 ~{\rm cm}$

B．$\dfrac{10(\sqrt{30}-\sqrt{15})}3 ~{\rm cm}$

C．$\dfrac{10(\sqrt{10}+\sqrt 5)}3 ~{\rm cm}$

D．$\dfrac{10(\sqrt{10}-\sqrt 5)}3 ~{\rm cm}$

继续阅读 →

已知 $x \in\mathbb R$，$f(x)=\lfloor 2 x\rfloor+\lfloor 4 x\rfloor+\lfloor 6 x\rfloor+\lfloor 8 x\rfloor$，则不超过 $ 2024 $ 的正整数中可以作为 $f(x)$ 函数值的个数为（       ）

A．$1012$

B．$1215$

C．$1624$

D．$2024$

继续阅读 →

用 $6$ 种不同颜色染正方体的 $ 6$ 个面，不同面颜色不同，正方体旋转后颜色相同认为是同种染色，则不同的染色的种数为（       ）

A．$15$

B．$30$

C．$45$

D．$60$

继续阅读 →

设 $\left(1+\sqrt{2}+\sqrt{7}\right)^n=a_n+b_n \sqrt{2}+c_n \sqrt{7}+d_n \sqrt{14}$，其中 $a_n, b_n, c_n, d_n \in\mathbb Z^{+}$，则 $\lim \limits_{n \to\infty} \dfrac{a_n^3}{b_n c_n d_n}=$ （       ）

A．$1$

B．$2$

C．$7$

D．$14$

继续阅读 →

使关于 $x$ 的方程 $\left\lfloor\dfrac{10^{n}}{x}\right\rfloor=2024$ 恰有 $2$ 个整数解的正整数 $n$ 值为（       ）

A．$5$

B．$6$

C．$7$

D．$8$

继续阅读 →