已知函数 $f(x)=(a x+1)\mathrm e^x,f^{\prime}(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数，且 $f^{\prime}(x)-f(x)=2\mathrm e^x$．
1、若曲线 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的切线为 $y=k x+b$，求 $k,b$ 的值．
2、在 $(1)$ 的条件下，证明：$f(x)\geqslant k x+b$．
每日一题[3404]三射线定理
如图，三棱柱 $ABC-A_1 B_1 C_1$ 中，侧面 $BB_1 C_1 C\perp~\text{底面}~ABC$，且 $AB=AC$，$A_1 B=A_1 C$．
1、证明：$AA_1\perp~\text{平面}~ABC$．
2、若 $AA_1=BC=2$，$\angle BAC=90^{\circ}$，求平面 $A_1 BC$ 与平面 $A_1 BC_1$ 夹角的余弦值．
每日一题[3403]离心率的三角表示
已知 $\triangle ABC$ 中，$\tan\dfrac B2=3\tan\dfrac C2$，双曲线 $E$ 以 $B,C$ 为焦点，且经过点 $A$，则 $E$ 的两条渐近线的夹角为_______；$\tan\dfrac A2+\tan\dfrac C2$ 的取值范围为_______．
每日一题[3402]车轮滚滚
设函数 $f(x)=[x]$ 的函数值表示不超过 $x$ 的最大整数，则在同一个直角坐标系中，函数 $y=f(x)$ 的图象与圆 $(x-t)^2+(y+t)^2=2 t^2$（$t>0$）的公共点个数可以是（ ）
A．$1$ 个
B．$2$ 个
C．$3$ 个
D．$4$ 个
每日一题[3401]焦半径与切线
$P$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上一点，$F_1 , F_2$ 是 $C$ 的两个焦点，$\overrightarrow{PF}_1\cdot\overrightarrow{PF}_2=0$，点 $Q$ 在 $\angle F_1 PF_2$ 的平分线上，$O$ 为原点，$OQ\parallel PF_1$，且 $|OQ|=b$，则 $C$ 的离心率为（ ）
A．$\dfrac 1 2$
B．$\dfrac{\sqrt 3}3$
C．$\dfrac{\sqrt 6}3$
D．$\dfrac{\sqrt 3}2$
每日一题[3400]极化恒等式
点 $P$ 是边长为 $1$ 的正六边形 $ABCDEF$ 边上的动点，则 $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$ 的最大值为（ ）
A．$2$
B．$\dfrac{11}4$
C．$3$
D．$\dfrac{13}4$
每日一题[3399]函数的”截距“
已知 $a>0$，且 $a\neq 1$，则函数 $y=\log_a\left(x+\dfrac 1 a\right)$ 的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限
B．第一、三象限
C．第二、四象限
D．第三、四象限
每日一题[3398]切线与法线
$P$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上一点，$F_1 , F_2$ 是 $C$ 的两个焦点，$\overrightarrow{PF}_1\cdot\overrightarrow{PF}_2=0$；点 $Q$ 在 $\angle F_1 PF_2$ 的平分线上，$O$ 为原点，$OQ\parallel PF_1$，且 $|OQ|=b$．则 $C$ 的离心率为（ ）
A．$\dfrac 1 2$
B．$\dfrac{\sqrt 3}3$
C．$\dfrac{\sqrt 6}3$
D．$\dfrac{\sqrt 3}2$
每日一题[3397]四星连珠
在平面直角坐标系 $x Oy$ 中，等轴双曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 的中心均为 $O$，焦点分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上，焦距之比为 $2$．$C_1$ 的右焦点 $F$ 到 $C_1$ 的渐近线的距离为 $\sqrt 2$．
1、求 $C_1,C_2$ 的方程．
2、过 $F$ 的直线交 $C_1$ 于 $A,B$ 两点，交 $C_2$ 于 $D,E$ 两点，$\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{DE}$ 的方向相同．
① 证明：$|AD|=|BE|$；
② 求 $\triangle AOD$ 面积的最小值．
每日一题[3396]递推方法
设离散型随机变量 $X,Y$ 的取值分别为 $\left\{x_1,x_2,\cdots,x_p\right\},\left\{y_1,y_2,\cdots,y_q\right\}$（$p,q\in\mathbb N^{\ast}$）．定义 $X$ 关于事件 $Y=y_j$ $(1\leqslant j\leqslant q)$ 的条件数学期望为 \[E\left(X\mid Y=y_j\right)=\displaystyle\sum_{i=1}^p x_i P\left(X=x_i\mid Y=y_j\right),\] 已知条件数学期望满足全期望公式\[E(10)=\displaystyle\sum_{j=1}^q E\left(X\mid Y=y_j\right) P\left(Y=y_j\right),\] 解决如下问题： 为了研究某药物对于微生物 $A$ 生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第 $1$ 天上午，实验人员向培养血中加入 $10$ 个 $A$ 的个体．从第 $1$ 天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，$A$ 的每个个体立即以相等的概率随机产生 $1$ 次如下的生理反应（设 $A$ 的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：
① 直接死亡；
② 分裂为 $2$ 个个体．
设第 $n$ 天上午培养皿中 $A$ 的个体数量为 $X_n$．规定 $E\left(X_1\right)=10$，$D\left(X_1\right)=0$．
1、求 $P\left(X_2=4\right)$，$E\left(X_4\mid X_3=4\right)$．
2、证明：$E\left(X_n\right)=10$．
3、已知 $E\left(X_n^2\mid X_{n-1}=t\right)=t^2+t$（$t\in\mathbb N^{\ast}$）．求 $D\left(X_n\right)$，并结合第 $(2)$ 小题说明其实际含义． 附：对于随机变量 $X$，$D(10)=E\left(X^2\right)-E^2(10)$．