已知 $a$ 为常数，函数 $f(x)=x\ln x+a x^2$．
1、当 $a=1$ 时，求 $f(x)$ 在 $x=1$ 处切线方程．
2、讨论函数 $f(x)$ 的零点个数．
3、若函数 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$），求证：$-\dfrac 1 2<f\left(x_1\right)<0$．
解析
1、当 $a=1$ 时，有 $f(x)=x\ln x+x^2$，$f'(x)=1+\ln x+2x$，从而所求切线方程为\[y=f(1)+f'(1)(x-1)\iff y=1+3(x-1)\iff y=3x-2.\]
2、方程 $f(x)=0$ 即\[a=-\dfrac{\ln x}{x},\]设 $g(x)=-\dfrac{\ln x}x$，则其导函数 $g(x)=\dfrac{\ln x-1}{x^2}$，于是\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&0^+&(0,{\rm e})&{\rm e}&({\rm e},+\infty)&+\infty\\ \hline g(x)&+\infty&\searrow&-\dfrac1{\rm e}&\nearrow&0 \\ \hline\end{array}\]因此当 $a<-\dfrac{1}{\rm e}$ 时，没有零点；当 $a=-\dfrac{1}{\rm e}$ 或 $a\geqslant 0$ 时，$1$ 个零点；当 $-\dfrac{1}{\rm e}<a<0$ 时，$2$ 个零点．
3、函数 $f(x)$ 的导函数 $f'(x)=1+\ln x+2ax$，于是方程 $f'(x)=0$ 即\[a=-\dfrac{1+\ln x}{2x},\]设 $h(x)=-\dfrac{1+\ln x}{2x}$，则其导函数\[h'(x)=\dfrac{\ln x}{2x^2},\]因此\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c}\hline x&0^+&(0,{\rm e})&{\rm e}&({\rm e},+\infty)&+\infty\\ \hline h(x)&+\infty&\searrow&-\dfrac12&\nearrow&0 \\ \hline\end{array}\]从而实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\dfrac 12,0\right)$，对应 $0<x_1<1$． 由于 $f'(x_1)=0$，从而 $a=-\dfrac{1+\ln x_1}{2x_1}$，因此\[f(x_1)=x_1\ln x_1+\left(-\dfrac{1+\ln x_1}{2x_1}\right)x_1^2=\dfrac 12x_1\ln x_1-\dfrac 12x_1,\]从而只需要证明当 $x\in (0,1)$ 时，有\[-1<x\ln x-x<0\iff 1-\dfrac 1x <\ln x<1,\]根据对数函数的基本放缩，命题得证．