双曲线 $C:\dfrac{x^2}{12}-\dfrac{y^2}4=1$ 的右焦点为 $F$，双曲线 $C$ 上有两点 $A,B$ 关于直线 $l: 3 x+y-8=0$ 对称，则 $\left|\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{FB}\right|=$（ ）
A．$2\sqrt 2$
B．$4\sqrt 2$
C．$2\sqrt 3$
D．$4\sqrt 3$
答案 B．
解析 设弦 $AB$ 的中点为 $M(m,n)$，坐标原点为 $O$，则 $\left|\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{FB}\right|=2|FM|$．根据双曲线的垂径定理，直线 $OM$ 的斜率\[k_{OM}\cdot \left(-\dfrac{1}{-3}\right)=\dfrac{4}{12}\implies k_{OM}=1,\]于是\[\begin{cases} 3m+n-8=0,\\ \dfrac nm=1,\end{cases}\iff \begin{cases} m=2,\\ n=2,\end{cases}\]因此所求值为 $2|FM|=4\sqrt 2$．