Math173

机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为 $12 ~{\rm cm}$，开口直径为 $8 ~{\rm cm}$．旅客使用纸杯暍水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于_______．

答案    $\dfrac{3\sqrt{17}}{17}$．

解析    如图，母线 $DA=DC=12$，开口直径 $AC=8$，于是\[DM=\sqrt{DA^2-AM^2}=\sqrt{12^2-4^2}=8\sqrt 2,\]于是\[\tan\angle BAC=\dfrac{\dfrac 12DM}{\dfrac 34AC}=\dfrac{2\sqrt 2}{3},\]

设母线 $DA$ 截线 $AB$ 与轴 $DM$ 的夹角分别为 $\theta,\varphi$，则 $\sin\alpha=\dfrac 13$，进而 $\cos\alpha=\dfrac{2\sqrt 2}3$，$\tan\varphi=\dfrac{3}{2\sqrt 2}$，进而 $\cos\varphi=\dfrac{2\sqrt 2}{\sqrt {17}}$，因此所求椭圆的离心率\[e=\dfrac{\cos\varphi}{\cos\theta}=\dfrac{3\sqrt{17}}{17}.\]

过点 $P(2,0)$ 的直线与抛物线 $C: y^2=4 x$ 交于 $A,B$ 两点．抛物线 $C$ 在点 $A$ 处的切线与直线 $x=-2$ 交于点 $N$，作 $NM\perp AP$ 交 $AB$ 于点 $M$，则（       ）

A．直线 $NB$ 与抛物线 $C$ 有 $2$ 个公共点

B．直线 $MN$ 恒过定点

C．点 $M$ 的轨迹方程是 $(x-1)^2+y^2=1$（$x\neq 0$）

D．$\dfrac{|MN|^3}{|AB|}$ 的最小值为 $8\sqrt 2$

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已知函数 $f(x)$ 对任意实数 $x$ 均满足 $2 f(x)+f\left(x^2-1\right)=1$，则（       ）

A．$f(-x)=f(x)$

B．$f(\sqrt 2)=1$

C．$f(-1)=\dfrac 1 3$

D．函数 $f(x)$ 在区间 $(\sqrt 2,\sqrt 3)$ 上不单调

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在 $\triangle ABC$ 中，已知 $\dfrac{\sin A}{\sin B}=n\sin C$，$\dfrac{\cos A}{\cos B}=n\cos C$，则正整数 $n$ 的最小值为（       ）

A．$1$

B．$2$

C．$3$

D．$4$

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设集合 $M=\{1,-1\}$，$N=\{x\mid x>0~\text{且}~x\neq 1\}$，函数 $f(x)=a^x+\lambda a^{-x}$（$a>0$ 且 $a\neq 1$），则（       ）

A．$\forall\lambda\in M$，$\exists a\in N$，$f(x)$ 为增函数

B．$\exists\lambda\in M$，$\forall a\in N$，$f(x)$ 为减函数

C．$\forall\lambda\in M$，$\exists a\in N$，$f(x)$ 为奇函数

D．$\exists\lambda\in M$，$\forall a\in N$，$f(x)$ 为偶函数

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设数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 满足 $a_1=b_1=1$，$a_n+b_{n+1}=2 n$，$a_{n+1}+b_n=2^n$．设 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n+b_n\right\}$ 的前 $n$ 项的和，则 $S_7=$ (       )

A．$110$

B．$120$

C．$288$

D．$306$

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如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图 $1$ 形成对称形态，图 $2$ 形成“右拖尾”形态，图 $3$ 形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（       ）

A．图 $1$ 的平均数 $=$ 中位数 $=$ 众数

B．图 $2$ 的平均数 $<$ 众数 $<$ 中位数

C．图 $2$ 的众数 $<$ 中位数 $<$ 平均数

D．图 $3$ 的平均数 $<$ 中位数 $<$ 众数

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无穷数列 $a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$ 的定义如下：如果 $n$ 是偶数，就对 $n$ 尽可能多次地除以 $2$，直到得出一个奇数，这个奇数就是 $a_n$；如果 $n$ 是奇数，就对 $3 n+1$ 尽可能多次地除以 $2$，直到得出一个奇数，这个奇数就是 $a_n$．

1、写出这个数列的前 $7$ 项．

2、如果 $a_n=m$ 且 $a_m=n$，求 $m,n$ 的值． 记 $a_n=f(n)$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，

3、求一个正整数 $n$，满足 \[n<f(n)<f(f(n))<\cdots<\underbrace{f(f(\cdots(}_{2024~\text{个}~f}n)\cdots)).\]

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设抛物线 $C: x^2=2 p y$（$p>0$），直线 $l: y=k x+2$ 交 $C$ 于 $A,B$ 两点．过原点 $O$ 作 $l$ 的垂线，交直线 $y=-2$ 于点 $M$．对任意 $k\in\mathbb R$，直线 $AM,AB,BM$ 的斜率成等差数列．

1、求 $C$ 的方程．

2、若直线 $l^{\prime}\parallel l$，且 $l^{\prime}$ 与 $C$ 相切于点 $N$，证明：$\triangle AMN$ 的面积不小于 $2\sqrt 2$．

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某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为 $94\%$；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为 $98\%$；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为 $97\%$．

1、从混合放在一起的零件中随机抽取 $3$ 个，用频率估计概率，记这 $3$ 个零件中来自甲工厂的个数为 $X$，求 $X$ 的分布列和数学期望．

2、为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率． 设事件 $A$ 为 "甲工厂提高了生产该零件的质量指标"，事件 $B$ 为 "该大型企业把零件交给甲工厂生产"．已知 $0<P(B)<1$，证明：$P(A\mid B)>P(A\mid\overline B)$．

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