甲、乙二人轮流给一个正方体的棱涂色，首先，甲任选 $ 3$ 条棱涂成红色，然后乙从余下的 $9$ 条棱中任选 $3 $ 条涂成绿色，接着甲从余下的 $ 6 $ 条棱中任选 $3$ 条涂成红色，最后乙将余下的 $3 $ 条棱涂成绿色，如果甲能将某个面上的 $4 $ 条边全都涂成红色，甲就获胜，试问甲有必胜的策略吗？说明理由．
正数 $a,b$ 满足 $a+b=1$，求证：$\left(\dfrac{1}{a^2}-a^3\right)\left(\dfrac{1}{b^2}-b^3\right) \geqslant\left(\dfrac{31}{8}\right)^2$．
函数 $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$ 的图象酷似教师批改作业时所画的“对勾”，所以我们常称 $f(x)$ 为“对勾函数”，其图象是渐近线分别为 $l_1: x=0$（即 $y$ 轴）与 $l_2: y=x$ 的双曲线．
1、求函数 $f(x)$ 图象的顶点坐标与离心率．
2、求函数 $f(x)$ 图象的焦点坐标．
已知半径为 $ 1$ 的圆上有 $2022 $ 个点，求证：至少存在一个凸 $337 $ 边形，它的面积小于 $0.1$．（$\pi \approx 3.142$，$\sqrt{3} \approx 1.732$）
甲烷分子 $\mathrm{CH}_4$ 的四个氢原子位于棱长为 $1$ 的正四面体的四个顶点，碳原子 ${\rm C}$ 位于正四面体的中心 $C_0$．记四个氢原子分别为 $H_1,H_2,H_3,H_4$，则 $\displaystyle\sum_{1 \leqslant i < j \leqslant 4} \overrightarrow{C_0 H_i} \cdot \overrightarrow{C_0 H_j}=$ _______．
存在 $x\in\mathbb R$，使 $x^2+|x-a|-2<0$ 成立，其中 $a \in \mathbb{Z}$，则所有满足条件的 $a$ 的和为_______．
如图，$M,N$ 分别是 ${\rm Rt}\triangle A B C$ 两直角边对应射线 $AB,AC$ 上的动点（不包含端点 $A$），$P$ 是线段 $M N$ 的中点，则以下结论正确的是（ ）
A．当 $\triangle A M N$ 的面积为定值时，点 $P$ 的轨迹为双曲线的一支
B．当 $|M N|$ 为定值时，点 $P$ 的轨迹为一圆弧
C．当 $|A M|+|A N|$ 为定值时，点 $P$ 的轨迹为空端点线段
D．当 $\triangle A M N$ 的周长为定值时，点 $P$ 的轨迹为抛物线
如图，$C_1,C_2$ 是离心率都为 $e$ 的椭圆，点 $A,B$ 是 $C_2$ 的顶点，过 $A,B$ 两点分别作 $C_1$ 的切线 $l_1,l_2$．若直线 $l_1,l_2$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，则 $\left|k_1 k_2\right|$ 的值为（ ）
A．$e^2$
B．$e^2-1$
C．$1-e^2$
D．$\dfrac{1}{e^2}$
