在 $\triangle ABC$ 中，已知 $\dfrac{\sin A}{\sin B}=n\sin C$，$\dfrac{\cos A}{\cos B}=n\cos C$，则正整数 $n$ 的最小值为（ ）
A．$1$
B．$2$
C．$3$
D．$4$
每日一题[3411]双重命题
设集合 $M=\{1,-1\}$，$N=\{x\mid x>0~\text{且}~x\neq 1\}$，函数 $f(x)=a^x+\lambda a^{-x}$（$a>0$ 且 $a\neq 1$），则（ ）
A．$\forall\lambda\in M$，$\exists a\in N$，$f(x)$ 为增函数
B．$\exists\lambda\in M$，$\forall a\in N$，$f(x)$ 为减函数
C．$\forall\lambda\in M$，$\exists a\in N$，$f(x)$ 为奇函数
D．$\exists\lambda\in M$，$\forall a\in N$，$f(x)$ 为偶函数
每日一题[3410]成双入对
设数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 满足 $a_1=b_1=1$，$a_n+b_{n+1}=2 n$，$a_{n+1}+b_n=2^n$．设 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n+b_n\right\}$ 的前 $n$ 项的和，则 $S_7=$ ( )
A．$110$
B．$120$
C．$288$
D．$306$
每日一题[3409]拖尾效应
如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态．图 $1$ 形成对称形态，图 $2$ 形成“右拖尾”形态，图 $3$ 形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ）
A．图 $1$ 的平均数 $=$ 中位数 $=$ 众数
B．图 $2$ 的平均数 $<$ 众数 $<$ 中位数
C．图 $2$ 的众数 $<$ 中位数 $<$ 平均数
D．图 $3$ 的平均数 $<$ 中位数 $<$ 众数
每日一题[3408]一条道上走到黑
无穷数列 $a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$ 的定义如下：如果 $n$ 是偶数，就对 $n$ 尽可能多次地除以 $2$，直到得出一个奇数，这个奇数就是 $a_n$；如果 $n$ 是奇数，就对 $3 n+1$ 尽可能多次地除以 $2$，直到得出一个奇数，这个奇数就是 $a_n$．
1、写出这个数列的前 $7$ 项．
2、如果 $a_n=m$ 且 $a_m=n$，求 $m,n$ 的值． 记 $a_n=f(n)$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，
3、求一个正整数 $n$，满足 \[n<f(n)<f(f(n))<\cdots<\underbrace{f(f(\cdots(}_{2024~\text{个}~f}n)\cdots)).\]
每日一题[3407]平均性质与参数方程
设抛物线 $C: x^2=2 p y$（$p>0$），直线 $l: y=k x+2$ 交 $C$ 于 $A,B$ 两点．过原点 $O$ 作 $l$ 的垂线，交直线 $y=-2$ 于点 $M$．对任意 $k\in\mathbb R$，直线 $AM,AB,BM$ 的斜率成等差数列．
1、求 $C$ 的方程．
2、若直线 $l^{\prime}\parallel l$，且 $l^{\prime}$ 与 $C$ 相切于点 $N$，证明：$\triangle AMN$ 的面积不小于 $2\sqrt 2$．
每日一题[3406]相得益彰
某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为 $94\%$；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为 $98\%$；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为 $97\%$．
1、从混合放在一起的零件中随机抽取 $3$ 个，用频率估计概率，记这 $3$ 个零件中来自甲工厂的个数为 $X$，求 $X$ 的分布列和数学期望．
2、为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率． 设事件 $A$ 为 "甲工厂提高了生产该零件的质量指标"，事件 $B$ 为 "该大型企业把零件交给甲工厂生产"．已知 $0<P(B)<1$，证明：$P(A\mid B)>P(A\mid\overline B)$．
每日一题[3405]基本放缩
已知函数 $f(x)=(a x+1)\mathrm e^x,f^{\prime}(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数，且 $f^{\prime}(x)-f(x)=2\mathrm e^x$．
1、若曲线 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的切线为 $y=k x+b$，求 $k,b$ 的值．
2、在 $(1)$ 的条件下，证明：$f(x)\geqslant k x+b$．
每日一题[3404]三射线定理
如图，三棱柱 $ABC-A_1 B_1 C_1$ 中，侧面 $BB_1 C_1 C\perp~\text{底面}~ABC$，且 $AB=AC$，$A_1 B=A_1 C$．
1、证明：$AA_1\perp~\text{平面}~ABC$．
2、若 $AA_1=BC=2$，$\angle BAC=90^{\circ}$，求平面 $A_1 BC$ 与平面 $A_1 BC_1$ 夹角的余弦值．
每日一题[3403]离心率的三角表示
已知 $\triangle ABC$ 中，$\tan\dfrac B2=3\tan\dfrac C2$，双曲线 $E$ 以 $B,C$ 为焦点，且经过点 $A$，则 $E$ 的两条渐近线的夹角为_______；$\tan\dfrac A2+\tan\dfrac C2$ 的取值范围为_______．