Math173

$1593$ 年，韦达发表了圆周率无穷乘积极限公式，这是第一个可以直接用于计算圆周率到任意精度的古典公式．推导过程如下：因为 \[\begin{split}\cos\dfrac{\alpha}2\cos\dfrac{\alpha}4\cdots\cos\dfrac{\alpha}{2^{n-1}}\cos\dfrac{\alpha}{2^n}&=\dfrac{\cos\dfrac{\alpha}2\cos\dfrac{\alpha}4\cdots\cos\dfrac{\alpha}{2^{n-1}}\cos\dfrac{\alpha}{2^n}\sin\dfrac{\alpha}{2^n}}{\sin\dfrac{\alpha}{2^n}}\\ &=\dfrac{\cos\dfrac{\alpha}2\cos\dfrac{\alpha}4\cdots\cos\dfrac{\alpha}{2^{n-1}}\sin\dfrac{\alpha}{2^{n-1}}}{2\sin\dfrac{\alpha}{2^n}}\\ &=\cdots\\ &=\dfrac{\sin\alpha}{2^n\sin\dfrac{\alpha}{2^n}},\end{split}\]其中 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 且当 $n\rightarrow+\infty$ 时，$2^n\sin\dfrac{\alpha}{2^n}\rightarrow\alpha$，所以\[\cos\dfrac{\alpha}2\cos\dfrac{\alpha}4\cdots\cos\dfrac{\alpha}{2^n}\cdots=\dfrac{\sin\alpha}{\alpha}.\]根据以上信息，计算\[\dfrac{\sqrt{2+\sqrt 2}}2\times\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt 2}}}2\times\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt 2}}}}2\times\cdots\]的值为（       ）

A．$\dfrac 1{\pi}$

B．$\dfrac{\sqrt 2}{\pi}$

C．$\dfrac 2{\pi}$

D．$\dfrac{2\sqrt 2}{\pi}$

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已知常数 $p\in(0,1)$，在成功的概率为 $p$ 的伯努利试验中，记 $X$ 为首次成功时所需的试验次数，$X$ 的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量 $X$ 的概率分布为几何分布．

1、对于正整数 $k$，求 $P(X=k)$，并根据\[E(10)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}k P(X=k)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sum_{k=1}^n k P(X=k)\right)\]求 $E(10)$．

2、对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为 $p$ 的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为 $E_2$，现提供一种求 $E_2$ 的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是 $E_2$，即总的试验次数为 $\left(E_2+1\right)$；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为 $2$，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为 $\left(E_2+2\right)$． ① 求 $E_2$； ② 记首次出现连续 $n$ 次成功时所需的试验次数的期望为 $E_n$，求 $E_n$．

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已知抛物线 $E: y=x^2$，过点 $T(1,2)$ 的直线与抛物线 $E$ 交于 $A,B$ 两点，设抛物线 $E$ 在点 $A,B$ 处的切线分别为 $l_1$ 和 $l_2$，已知 $l_1$ 与 $x$ 轴交于点 $M$，$l_2$ 与 $x$ 轴交于点 $N$，设 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点为 $P$．

1、证明：点 $P$ 在定直线上．

2、若 $\triangle PMN$ 面积为 $\sqrt 2$，求点 $P$ 的坐标．

3、若 $P,M,N,T$ 四点共圆，求点 $P$ 的坐标．

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如图，三棱柱 $ABC-A_1 B_1 C_1$ 中，侧面 $ABB_1 A_1\perp~\text{底面}~ ABC$，$AB=BB_1=2$，$AC=2\sqrt 3$，$\angle B_1 BA=60^{\circ}$，点 $D$ 是棱 $A_1 B_1$ 的中点，$\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{BE}$，$DE\perp BC$．

1、证明：$AC\perp BB_1$．

2、求直线 $BB_1$ 与平面 $DEA_1$ 所成角的正弦值．

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设 $A,B,C$ 是一个三角形的三个内角，则 $\cos A(3\sin B+4\sin C)$ 的最小值为_______．

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定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的导函数分别为 $f^{\prime}(x)$ 和 $g^{\prime}(x)$，若 $g(x)-f(3-x)=2$，$f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x-1)$，且 $g(-x+2)=-g(x+2)$，则下列说法中一定正确的是（       ）

A．$g(x+2)$ 为偶函数

B．$f^{\prime}(x+2)$ 为奇函数

C．函数 $f(x)$ 是周期函数

D．$\displaystyle\sum_{k=1}^{2024}g(k)=0$

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已知双曲线 $E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的右焦点为 $F$，其左右顶点分别为 $A,B$，过 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交双曲线 $E$ 于 $M,N$ 两点，设线段 $MF$ 的中点为 $P$，若直线 $BP$ 与直线 $AN$ 的交点在 $y$ 轴上，则双曲线 $E$ 的离心率为（      ）

A．$2$

B．$3$

C．$\sqrt 2$

D．$\sqrt 3$

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在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球 $n$ 次，红球出现 $m$ 次．假设每次摸出红球的概率为 $p$，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率 $p$ 的估计值为 $\hat p=\dfrac m n$．

1、若袋中这两种颜色球的个数之比为 $1: 3$，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取 $3$ 个球，设摸出的球为红球的次数为 $Y$，则 $Y\sim B(3,p)$． 注：$P_p(Y=k)$ 表示当每次摸出红球的概率为 $p$ 时，摸出红球次数为 $k$ 的概率） ① 完成下表；\[\begin{array}{l|l|l|l|l}\hline k & 0 & 1 & 2 & 3\\\hline P_{\frac 1 4}(Y=k) & \dfrac{27}{64} & & & \dfrac 1{64}\\\hline P_{\frac 3 4}(Y=k) & & \dfrac 9{64} & & \dfrac{27}{64}\\\hline \end{array}\] ② 在统计理论中，把使得 $P_p(Y=k)$ 的取值达到最大时的 $p$，作为 $p$ 的估计值，记为 $\hat p$，请写出 $\hat p$ 的值．

2、把 $(1)$ 中 "使得 $P_p(Y=k)$ 的取值达到最大时的 $p$ 作为 $p$ 的估计值 $\hat p$ " 的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．具体步骤：先对参数 $\theta$ 构建对数似然函数 $l(\theta)$，再对其关于参数 $\theta$ 求导，得到似然方程 $l^{\prime}(\theta)=0$，最后求解参数 $\theta$ 的估计值．已知 $Y\sim B(n,p)$ 的参数 $p$ 的对数似然函数为\[l(p)=\displaystyle\sum_{i=1}^n X_i\ln p+\sum_{i=1}^n\left(1-X_i\right)\ln (1-p),\]其中 $X_i=\begin{cases}0,&\text{第}~i~\text{次摸出白球}\\1,&\text{第}~i~\text{次摸出红球}\end{cases}$．求参数 $p$ 的估计值，并且说明频率估计概率的合理性．

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已知 $A,B$ 是椭圆 $E:\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 的左、右顶点，点 $M(m,0)$（$m>0$）与椭圆上的点的距离的最小值为 $1$．

1、求点 $M$ 的坐标．

2、过点 $M$ 作直线 $l$ 交椭圆 $E$ 于 $C,D$ 两点（与 $A,B$ 不重合），连接 $AC,BD$ 交于点 $G$．

① 证明：点 $G$ 在定直线上；

② 是否存在点 $G$ 使得 $CG\perp DG$，若存在，求出直线 $l$ 的斜率；若不存在，请说明理由．

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如图，在多面体 $ABCDPQ$ 中，底面 $ABCD$ 是平行四边形，$\angle DAB=60^{\circ}$，$BC=2 PQ=4 AB=4$，$M$ 为 $BC$ 的中点，$PQ\parallel BC$，$PD\perp DC$，$QB\perp MD$．

1、证明：$\angle ABQ=90^{\circ}$．

2、若多面体 $ABCDPQ$ 的体积为 $\dfrac{15}2$，求平面 $PCD$ 与平面 $QAB$ 夹角的余弦值．

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