已知 $f(x)=-\dfrac 1 2\mathrm e^{2 x}+4\mathrm e^x-a x-5$．
1、当 $a=3$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间．
2、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$，证明：$f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+x_1+x_2<0$．
每日一题[3441]随机徘徊
如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置 $0$ 出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动 $n$ 次后质点位于位置 $X_n$．
1、求 $P\left(X_4=-2\right)$．
2、求 $E\left(X_n\right)$．
3、指出质点最有可能位于哪个位置，并说明理由．
每日一题[3440]互斥与独立
在一个有限样本空间中，假设 $P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac 1 3$，且 $A$ 与 $B$ 相互独立，$A$ 与 $C$ 互斥，则（ ）
A．$P(A\cup B)=\dfrac 2 3$
B．$P(\overline C\mid A)=2 P(A\mid\overline C)$
C．$P(\overline C\mid AB)=1$
D．若 $P(C\mid B)+P(C\mid\overline B)=\dfrac 1 2$，则 $B$ 与 $C$ 互斥
每日一题[3439]极化恒等式
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，点 $A,B$ 在 $C$ 上，且满足 $\overrightarrow{F_1 A}=2\overrightarrow{F_2 B}$，$\overrightarrow{F_1 B}\cdot\overrightarrow{AB}=4 c^2-\dfrac{a^2}{16}$，则 $C$ 的离心率为（ ）
A．$\dfrac{2\sqrt 2}3$
B．$\dfrac{\sqrt 6}3$
C．$\dfrac 2 3$
D．$\dfrac{\sqrt 3}3$
每日一题[3438]伪高次不等式
已知 $0<a<1$ 且 $a\neq\dfrac 1 2$，若函数 $f(x)=2\log_a x-\log_{2 a}x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围为（ ）
A．$\left(\dfrac 1 4,\dfrac 1 2\right)$
B．$\left(0,\dfrac 1 4\right)$
C．$\left(\dfrac 1 4,\dfrac 1 2\right)\cup\left(\dfrac 1 2,1\right)$
D．$\left(0,\dfrac 1 4\right)\cup\left(\dfrac 1 2,1\right)$
每日一题[3437]递进求和
如图所示数阵，第 $m(m\geqslant 1)$ 行共有 $m+1$ 个数，第 $m$ 行的第 $1$ 个数为 $\mathop{\rm C}\nolimits_{m-1}^0$，第 $2$ 个数为 $\mathop{\rm C}\nolimits_ m^1$，第 $n$（$n\geqslant 3$）个数为 $\mathop{\rm C}\nolimits_ {m+n-2}^{n-1}-\mathop{\rm C}\nolimits_ {m+n-2}^{n-3}$．规定：$\mathop{\rm C}\nolimits_ 0^0=1$． \[\begin{array}{ccccccc} \mathop{\rm C}\nolimits_ 0^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 1^1&&&&&\\ \mathop{\rm C}\nolimits_ 1^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 2^1&\mathop{\rm C}\nolimits_ 3^2-\mathop{\rm C}\nolimits_ 3^0&&&&\\ \mathop{\rm C}\nolimits_ 2^0&\mathop{\rm C}\nolimits_3^1&\mathop{\rm C}\nolimits_ 4^2-\mathop{\rm C}\nolimits_ 4^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 3^3-\mathop{\rm C}\nolimits_ 5^1&&&\\ \mathop{\rm C}\nolimits_ 3^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 4^1&\mathop{\rm C}\nolimits_ 5^2-\mathop{\rm C}\nolimits_ 5^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 6^3-\mathop{\rm C}\nolimits_ 6^1&\mathop{\rm C}\nolimits_ 7^4-\mathop{\rm C}\nolimits_ 7^2&&\\ \mathop{\rm C}\nolimits_ 4^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 5^1&\mathop{\rm C}\nolimits_ 6^2-\mathop{\rm C}\nolimits_ 6^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 7^3-\mathop{\rm C}\nolimits_ 7^1&\mathop{\rm C}\nolimits_ 8^4-\mathop{\rm C}\nolimits_ 8^2&\mathop{\rm C}\nolimits_ 9^5-\mathop{\rm C}\nolimits_ 9^3&\\ \mathop{\rm C}\nolimits_ 5^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 6^1&\mathop{\rm C}\nolimits_ 7^2-\mathop{\rm C}\nolimits_ 7^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 8^3-\mathop{\rm C}\nolimits_ 8^1&\mathop{\rm C}\nolimits_ 9^4-\mathop{\rm C}\nolimits_ 9^2&\mathop{\rm C}\nolimits_ {10}^5-\mathop{\rm C}\nolimits_ {10}^3&\mathop{\rm C}\nolimits_ {11}^6-\mathop{\rm C}\nolimits_ {11}^4\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\end{array}\]
1、试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论．
2、求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数．
3、从第 $1$ 行起，每一行最后一个数依次构成数列 $\left\{a_n\right\}$，设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$．是否存在正整数 $k$，使得对任意正整数 $n$，$k S_n\leqslant 4^n-1$ 恒成立？如存在，请求出 $k$ 的最大值，如不存在，请说明理由．
每日一题[3436]小小构造
己知 $F$ 为抛物线 $C: x^2=2 p y$（$p>0$）的焦点，点 $A$ 在 $C$ 上，$\overrightarrow{FA}=\left(\sqrt 3,-\dfrac 1 4\right)$．点 $P(0,-2)$，$M,N$ 是拋物线上不同两点，直线 $PM$ 和直线 $PN$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$．
1、求 $C$ 的方程．
2、存在点 $Q$，当直线 $MN$ 经过点 $Q$ 时，$3\left(k_1+k_2\right)-2 k_1 k_2=4$ 恒成立，请求出满足条件的所有点 $Q$ 的坐标．
3、对于 $(2)$ 中的一个点 $Q$，当直线 $MN$ 经过点 $Q$ 时，$|MN|$ 存在最小值，试求出这个最小值．
每日一题[3435]三射线定理
如图，直三棱柱 $ABC-A_1 B_1 C_1$ 的体积为 $1$，$AB\perp BC$，$AB=2$，$BC=1$．
1、求证：$BC_1\perp A_1 C$．
2、求二面角 $B_1-A_1 C-B$ 的余弦值．
每日一题[3434]左右飘摇
设钝角 $\triangle ABC$ 三个内角 $A,B,C$ 所对应的边分别为 $a,b,c$，若 $a=2$，$b\sin A=\sqrt 3$，$c=3$，则 $b=$ _______．
每日一题[3433]参数方程
已知圆 $O: x^2+y^2=2$，过点 $M(-3,1)$ 的直线 $l$ 交圆 $O$ 于 $A,B$ 两点，且 $\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MB}$，则满足上述条件的直线 $l$ 的方程为_______．