设 $n$ 为给定的正整数，$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 为满足对每个 $m \leqslant n$ 都有 $\displaystyle\left|\sum_{k=1}^{m} \frac{a_{k}}{k}\right| \leqslant 1$ 的一列实数，求 $\displaystyle\left|\sum_{k=1}^{n} a_{k}\right|$ 的最大值．
已知二次函数 $f(x)=x^{2}+a x+b$（$a, b \in \mathbb{R}$）有两个不同的零点．若 $f\left(x^{2}+2 x-1\right)=0$ 有四个实数解 $x_1,x_2,x_3,x_4$（$x_{1}<x_{2}<x_{3}<x_{4}$），且 $x_{1},x_2,x_3,x_{4}$ 成等差数列，求 $a-b$ 的取值范围．
设数列 $a_{n+1}=\left[\dfrac{a_{n}}{2}\right]+\left[\dfrac{a_{n}}{3}\right]$，$ n=1,2, \cdots, 7$，这里 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．若 $a_{8}=8$，则正整数 $a_{1}$ 有_______种可能的取值情况．
已知 $\triangle A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A(0,0), B(7,0), C(3,4)$，过点 $D\left(6-2 \sqrt{2}, 3-\sqrt{2}\right)$ 的直线分别与线段 $A C,B C$ 交于 $P,Q$．若 $\triangle P Q C$ 的面积为 $4\sqrt 2$，则 $|C P|+|C Q|=$ _______．
设 $a_{0}=0$，$a_{1}=a_{2}=1$，$a_{3 n}=a_{n}$，$a_{3 n+1}=a_{3 n+2}=a_{n}+1$（$n \geqslant 1$），则 $a_{2021}=$ _______．
对于正整数 $n$，若 $(x y-5 x+3 y-15)^{n}$ 展开式经同类项合并，$x^{i} y^{j}$（$i,j=0,1, \cdots, n$）合并后至少有 $2021 $ 项，则 $n$ 的最小值为_______．
已知等比数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n>0$ 且 $a_1a_2a_3+2a_2^2+a_2+a_3-a_4=1$，则 $a_1$ 的取值范围是_______．
已知函数 $f(x)=(2x^2-x^3){\rm e}^{1-x}$，其中 $x>0$．
1、求 $f(x)$ 的最大值．
2、若不等式 $ax^2{\rm e}^{1-x}+|\ln x |\geqslant a$ 对于任意的 $x\in (0,+\infty)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
已知 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，$BC$ 边上的高为 $h$，且 $b+c=a+h$，$a=kh$．
1、求 $k$ 的取值范围．
2、求 $\tan \dfrac A2$（用 $k$ 表示），并求 $\sin A$ 的最小值．
平面直角坐标系内有 $10$ 个不同点，$P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots,P_{10}\left(x_{10}, y_{10}\right)$，若 $x_{i}=x_{j}$ 或 $y_{i}=y_{j}$，则称 $P_{i}$ 与 $P_{j}$ 为一个“同标点对”（不考虑 $P_{i}$ 与 $P_{j}$ 的次序）．若 $10 $ 个不同点满足：与每个点构成“同标点对”的点均不超过 $m$ 个；无论何种情况，都可以恰好将它们分成 $ 5$ 个点对，每个点对都不是“同标点对”．求 $m$ 的最大值．
