2024年高考全国II卷#11
设函数 $f(x)=2 x^3-3 a x^2+1$，则（ ）
A．当 $a>1$ 时，$f(x)$ 有三个零点
B．当 $a<0$ 时，$x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点
C．存在 $a,b$ 使得 $x=b$ 为曲线 $y=f(x)$ 的对称轴
D．存在 $a$ 使得点 $(1,f(1))$ 为曲线 $y=f(x)$ 的对称中心
每日一题[3454]掩藏零点
2024年高考全国II卷#8
设函数 $f(x)=(x+a)\ln (x+b)$，若 $f(x)\geqslant 0$，则 $a^2+b^2$ 的最小值为（ ）
A．$\dfrac 1 8$
B．$\dfrac 1 4$
C．$\dfrac 1 2$
D．$1$
每日一题[3453]可分数列
2024年高考全国I卷#19
设 $m$ 为正整数，数列 $a_1,a_2,\cdots,a_{4 m+2}$ 是公差不为 $0$ 的等差数列，若从中删去两项 $a_i$ 和 $a_j$（$i<j$）后剩余的 $4 m$ 项可被平均分为 $m$ 组，且每组的 $4$ 个数都能构成等差数列，则称数列 $a_1,a_2,\cdots,a_{4 m+2}$ 是 $(i,j)~-$ 可分数列．
1、写出所有的 $(i,j)$，$1\leqslant i<j\leqslant 6$，使得数列 $a_1,a_2,\cdots,a_6$ 是 $(i,j)~-$ 可分数列；
2、当 $m\geqslant 3$ 时，证明：数列 $a_1,a_2,\cdots,a_{4 m+2}$ 是 $(2,13)~-$ 可分数列；
3、从 $1,2,\cdots,4 m+2$ 中一次任取两个数 $i$ 和 $j$（$i<j$），记数列 $a_1,a_2,\cdots,a_{4 m+2}$ 是 $(i,j)~-$ 可分数列的概率为 $P_m$，证明：$P_m>\dfrac 1 8$．
每日一题[3452]双剑合璧
2024年高考全国I卷#18
已知函数 $f(x)=\ln\dfrac x{2-x}+a x+b(x-1)^3$． 若 $b=0$，且 $f^{\prime}(x)\geqslant 0$，
1、求 $a$ 的最小值；
2、证明：曲线 $y=f(x)$ 是中心对称图形；
3、若 $f(x)>-2$ 当且仅当 $1<x<2$，求 $b$ 的取值范围．
每日一题[3451]暴力列举
2024年高考全国I卷#14
甲乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字 $1,3,5,7$，乙的卡片上分别标有数字 $2,4,6,8$．两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上的数字大小，数字大的人得 $1$ 分，数字小的人得 $0$ 分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用），则四轮比赛后，甲的总得分不小于 $2$ 的概率为 _______．
每日一题[3450]解析丝带
2024年高考全国I卷#11
造型 $\propto$ 可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线 $C$ 的一部分．已知 $C$ 过坐标原点 $O$，且 $C$ 上的点满足横坐标大于 $-2$，到点 $F(2,0)$ 的距离与到定直线 $x=a$（$a<0$）的距离之积为 $4$，则[[nn]]
A．$a=-2$
B．点 $(2\sqrt 2,0)$ 在 $C$ 上
C．$C$ 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 $1$
D．当点 $\left(x_0,y_0\right)$ 在 $C$ 上时，$y_0\leqslant\dfrac 4{x_0+2}$
每日一题[3449]递增速度
2024年高考全国I卷#8
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，$f(x)>f(x-1)+f(x-2)$，且当 $x<3$ 时，$f(x)=x$，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．$f(10)>100$
B．$f(20)>1000$
C．$f(10)<1000$
D．$f(20)<10000$
每日一题[3448]定比点差
2024年高考全国甲卷（理科）#21
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点为 $F$，点 $M\left(1,\dfrac 3 2\right)$ 在椭圆 $C$ 上，且 $MF$ 垂直于 $x$ 轴．
1、求椭圆 $C$ 的方程；
2、$P(4,0)$，过 $P$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A,B$ 两点，$N$ 为 $FP$ 的中点，直线 $NB$ 与 $MF$ 交于 $Q$，证明：$AQ\perp y$ 轴．
每日一题[3447]端点分析
2024年高考全国甲卷（理科）#20
已知函数 $f(x)=(1-a x)\ln (1+x)-x$．
1、当 $a=-2$ 时，求 $f(x)$ 的极值；
2、当 $x\geqslant 0$ 时，$f(x)\geqslant 0$，求 $a$ 的取值范围．
每日一题[3446]分类计数
2024年高考全国甲卷（理科）#16
有 $ 6$ 个相同的球，分别标有数字 $1,2,3,4,5,6$，从中无放回地随机取 $3 $ 次，每次取 $1$ 个球．设 $m$ 为前两次取出的球上数字的平均值，$n$ 为取出的三个球上数字的平均值，则 $m$ 与 $n$ 之差的绝对值不大于 $\dfrac{1}{2}$ 的概率为_______．