已知二次函数 $f(x)=x^{2}+a x+b$（$a, b \in \mathbb{R}$）有两个不同的零点．若 $f\left(x^{2}+2 x-1\right)=0$ 有四个实数解 $x_1,x_2,x_3,x_4$（$x_{1}<x_{2}<x_{3}<x_{4}$），且 $x_{1},x_2,x_3,x_{4}$ 成等差数列，求 $a-b$ 的取值范围．
解析 设方程 $x^{2}+a x+b=0$ 的两个实数解为 $\alpha,\beta$，且 $\alpha<\beta$，则\[ f\left(x^{2}+2 x-1\right)=\left(x^{2}+2 x-\alpha-1\right)\left(x^{2}+2 x-\beta-1\right),\] 所以 $x_{1},x_{4}$ 为方程 $x^{2}+2 x-\beta-1=0$ 的两个根，$x_{2},x_{3}$ 为方程 $x^{2}+$ $2 x-\alpha-1=0$ 的两个根．根据题意得\[\left|x_{1}-x_{4}\right|=3\left|x_{2}-x_{3}\right|\implies \sqrt{8+4\beta}=3\sqrt{8+4\alpha}\implies \beta=9\alpha+16,\]于是\[a-b=-\alpha-\beta-\alpha \beta=-9 \alpha^{2}-26 \alpha-16=-9\left(\alpha+\frac{13}{9}\right)^{2}+\frac{25}{9},\] 所以所求 $a-b$ 的取值范围为 $\left(-\infty, \dfrac{25}{9}\right]$．