Math173

2024年广东四校高三年级第一次联考#8

圆锥顶点 $A$，底面半径为 $1$，母线 $AB=4$，$AB$ 的中点为 $M$，一只蚂蚁从底面圆周上的点 $B$ 绕圆锥侧面一周到达 $M$ 的最短路线中，其中下坡路的长是（       ）

A．$0$

B．$\dfrac{2\sqrt 5}5$

C．$\dfrac{4\sqrt 5}5$

D．$\sqrt 5$

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2024年广东四校高三年级第一次联考#6

已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_{2024}=0$ 是 $S_n=S_{4047-n}$（$n<4047$，$n\in\mathbb N^{\ast}$）的（       ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

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2024年高考上海卷#21

对于一个函数 $f(x)$ 和一个点 $M(a,b)$，令 $s(x)=(x-a)^2+(f(x)-b)^2$，若 $P\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$ 是 $s(x)$ 取到最小值的点，则称 $P$ 是 $M$ 在 $f(x)$ 的 "最近点"．

1、对于 $f(x)=\dfrac 1 x$，$x\in (0,+\infty)$，求证：对于点 $M(0,0)$，存在点 $P$，使得 $P$ 是 $M$ 在 $f(x)$ 的"最近点"；

2、对于 $f(x)=\mathrm e^x$，$D=\mathbb R$，$M(1,0)$，请判断是否存在一个点 $P$，它是 $M$ 在 $f(x)$ 最近点，且直线 $MP$ 与 $f(x)$ 在点 $P$ 处的切线垂直；

3、设 $f(x)$ 存在导函数，且 $g(x)$ 在定义域 $\mathbb R$ 上恒正，设点 $M_1(t-1,f(t)-g(t))$，$M_2(t+1,f(t)+g(t))$．若对任意的 $t\in\mathbb R$，都存在点 $P$，满足 $P$ 是 $M_1$ 的最近点，也是 $M_2$ 的最近点，试求 $f(x)$ 的单调性．

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2024年高考上海卷#20

已知双曲线 $\Gamma: x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$b>0$），$A_1,A_2$ 为左右顶点，过点 $M(-2,0)$ 的直线 $l$ 交双曲线 $\Gamma$ 于两点 $P, Q$，且点 $P$ 在第一象限．

1、若双曲线的离心率 $e=2$，求 $b$．

2、若 $b=\dfrac{2\sqrt 6}3$，$\triangle MA_2 P$ 为等腰三角形，求点 $P$ 的坐标．

3、过点 $Q$ 作 $OQ$ 延长线交 $\Gamma$ 于点 $R$，若 $\overrightarrow{A_1 R}\cdot\overrightarrow{A_2 P}=1$，求 $b$ 的取值范围．

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2024年高考上海卷#16

定义集合\[M=\left\{x_0\mid x_0\in \mathbb R,x\in\left(-\infty,x_0\right),f(x)<f\left(x_0\right)\right\},\]在使得 $M=[-1,1]$ 的所有函数 $f(x)$ 中，下列成立的是（       ）

A．存在 $f(x)$ 是偶函数

B．存在 $f(x)$ 在 $x=2$ 处取最大值

C．存在 $f(x)$ 单调递增

D．存在 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取到极小值

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2024年高考上海卷#12

等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项 $a_1>0$，公比 $q>1$，记集合 $l_n =\left\{x-y\mid x,y\in\left[a_1,a_2\right]\cup\left[a_n,a_{n+1}\right]\right\}$，若对任意正整数 $n$，$l_n$ 都是闭区间，则 $q$ 的范围是_______．

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2024年高考天津卷#20

设函数 $f(x)=x\ln x$．

1、求 $f(x)$ 图象上点 $(1,f(1))$ 处的切线方程；

2、若 $f(x)\geqslant a(x-\sqrt x)$ 在 $x\in(0,+\infty)$ 时恒成立，求 $a$ 的取值范围；

3、若 $x_1,x_2\in(0,1)$，证明：$\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|\leqslant\left|x_1-x_2\right|^{\frac 1 2}$．

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2024年高考天津卷#19

已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 是公比大于 $0$ 的等比数列．其前 $n$ 项和为 $S_n$．若 $a_1=1$，$S_2=a_3-1$．

1、求数列 $\left\{a_n\right\}$ 前 $n$ 项和为 $S_n$；

2、设数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_n=\begin{cases} k,&n=a_k,\\ b_{n-1}+2k,&a_k<n<a_{k+1},\end{cases}$ 其中 $k$ 是大于 $1$ 的正整数． ① 当 $n=a_{k+1}$ 时，求证：$b_{n-1}\geqslant a_k\cdot b_n$； ② 求 $\displaystyle\sum_{i=1}^{S_n}b_i$．

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2024年高考天津卷#18

已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率 $e=\dfrac 1 2$，左顶点为 $A$，下顶点为 $B$，$C$ 是线段 $OB$ 的中点，其中 ${\triangle ABC}$ 的面积为 $\dfrac{3\sqrt 3}2$．

1、求椭圆方程．

2、过点 $C$ 的动直线与椭圆有两个交点 $P,Q$．在 $y$ 轴上是否存在点 $T$ 使得 $\overrightarrow{TP}\cdot\overrightarrow{TQ}\leqslant 0$．若存在求出这个 $T$ 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．

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2024年高考天津卷#15

若函数 $f(x)=2\sqrt{x^2-a x}-|a x-2|+1$ 有唯一零点，则 $a$ 的取值范围为_______．

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