一个水平放置的圆柱体容器内依次放着 $2$ 个红球和 $3$ 个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出 $ 1 $ 个球，依次取完，则 $2$ 个红球被连续取出的概率是（ ）
A．$\dfrac{1}{4}$
B．$\dfrac{7}{16}$
C．$\dfrac{1}{2}$
D．$\dfrac{9}{16}$
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每日一题[4249]韦达定理
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $x^2-\frac{y^2}{2}=1$ 与曲线 $2(x-m)^2+(y-n)^2=6$ 有 $4 $ 个交点 $A, B, C, D$．
1、若 $(m,n)=(0,0)$，求证：$A,B,C,D$ 是正方形的四个顶点；
2、求证：$|OA|^2+|OB|^2+|OC|^2+|OD|^2$ 是定值；
3、求 $A,B,C,D$ 构成的四边形面积的最大值．
每日一题[4248]裂项放缩
给定 $n \in \mathbb N^{+}$，$n \geqslant 2026$，定义数列 $\left\{x_k\right\},\left\{y_k\right\}$，满足 $x_0=y_0=1$，且对任意 $k \in \mathbb N^{+}$，均有\[x_k=x_{k-1}^2+\frac{1}{2^n},\quad y_k=y_{k-1}^2+\frac{1}{2^n-n},\]求证：$x_n<\mathrm e < y_n$．
每日一题[4247]隐函数
已知实数 $a>0$，函数 $f(x)=\mathrm e^{ax-1}-x-a$．
1、若函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；
2、若函数 $f(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$ 且 $x_1<x_2$．
① 求证：$x_2$ 随着 $a$ 的增大而减小；
② 求证：$x_2-x_1>\frac 1a+a$．
每日一题[4246]立几与解几
已知 $PA\perp~\text{平面}~\gamma$，垂足为 $A$，直线 $AC\subset\gamma$，$B,D$ 是 $\gamma$ 内的动点，且 $B,D$ 始终在 $AC$ 的两侧．
1、若 $AB\perp AD$，证明：$\triangle PBD$ 是锐角三角形；
2、若 $PA=AC=3$，$Q$ 是线段 $CP$ 上靠近 $C$ 的三等分点，$\angle CQB=\angle CQD=\dfrac{\pi}3$． ① 证明：二面角 $B-AP-D$ 为锐角； ② 直线 $PB,PD$ 与 $\gamma$ 所成的角分别为 $\alpha,\beta$，记 $\theta=\displaystyle\max\{\alpha,\beta\}$．若平面 $QBD\perp\gamma$，且 $\triangle PBD$ 不是任何一个长方体的截面，求 $\tan^2\theta$ 的最小值．
每日一题[4245]全概率
某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量 $X$ 的分布列为\[\begin{array}{c|c|c|c|c}\hline X & 0 & 1 & 2 & 3\\\hline P & k(1-\alpha)^2 & k\alpha & k & k(1-\alpha)\\\hline \end{array}\]其中 $k>0$，$ 0<\alpha<1$．
1、当 $\alpha=\dfrac 1 2$ 时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值；
2、已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为 $\dfrac 1 3$，每个盲盒是否为封面款相互独立．若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户．现从顾客中随机选取一人．
① 求该顾客为幸运客户的概率 $f(\alpha)$；
② 若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过 $\dfrac 1 2$，求 $\alpha$ 的取值范围．
每日一题[4244]等张角线
在平面凸四边形 $ABCD$ 中，$\angle BAC=60^{\circ}$，$AB=2$，$BC=2\sqrt 3$，$\triangle BCD$ 的面积为 $3\sqrt 3$．当 $\angle ADB$ 最大时，四边形 $ABCD$ 的面积为 _____．
每日一题[4243]纠缠之缘
已知公差为 $d$ 的等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，公比为 $q$ 的等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，且 $a_1=b_1>0$，$a_{10}=b_{10}$．下列命题正确的是（ ）
A．当 $d>0$ 时，$S_{10}>T_{10}$
B．当 $S_{10}=T_{10}$ 时，$d=0$
C．当 $-1<q<0$ 时，$S_{10}>T_{10}$
D．当 $q<-1$ 时，集合 $\left\{n\mid a_n=b_n\right\}$ 可能有三个元素
每日一题[4242]定比分极值点
已知函数 $f(x)=(x-a)^m(x-b)^n$（$m,n\in\mathbb N^{\ast}$，$m<n$，$a\neq b$）有且仅有 $3$ 个极值点 $x_1,x_2,x_3$，且 $x_1<x_2<x_3$，则（ ）
A．$m$ 为奇数
B．$n$ 为奇数
C．若 $a<b$，则 $2 x_2>x_1+x_3$
D．若 $a>b$，则 $2 x_2>x_1+x_3$
每日一题[4241]不定数列
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $a_{n+1}+(-1)^n S_n=2 n+1$，则 $a_6=$（ ）
A．$16$
B．$18$
C．$20$
D．$22$