一个水平放置的圆柱体容器内依次放着 $2$ 个红球和 $3$ 个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出 $ 1 $ 个球，依次取完，则 $2$ 个红球被连续取出的概率是（ ）
A．$\dfrac{1}{4}$
B．$\dfrac{7}{16}$
C．$\dfrac{1}{2}$
D．$\dfrac{9}{16}$
答案 D．
解析 设 $2$ 个红球后有 $k$ 个白球时，$2$ 个红球被连续取出的概率是 $p_k$，则 $p_0=1$，且当 $k\geqslant 1$ 时，有\[p_k=\frac 12\cdot \frac 12+\frac 12\cdot p_k=\frac 14+\frac 12p_k,\]于是 $p_1=\frac 34$，$p_2=\frac 58$，$p_3=\frac 9{16}$．
改編
将 $2$ 个红球和 $n$（$n\geqslant 1$）个白球随机打乱次序后依次放入一个水平放置的圆柱体容器内排成一排，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端随机等可能的取出 $ 1 $ 个球，依次取完．
1、求在 $2$ 个红球之间有 $k$ 个白球（$k=0$ 时看作 $2$ 个红球相邻），$2$ 个红球被连续取出的条件概率 $p_k$；
2、求 $2$ 个红球被连续取出的概率； 若 $2$ 个红球未被连续取出，则记得分 $X=0$；
3、若 $2$ 个红球被连续取出，则此时取出的球数（包括这 $2$ 个红球）为得分 $X$，求 $E(X)$．