已知公差为 $d$ 的等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，公比为 $q$ 的等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，且 $a_1=b_1>0$，$a_{10}=b_{10}$．下列命题正确的是（ ）
A．当 $d>0$ 时，$S_{10}>T_{10}$
B．当 $S_{10}=T_{10}$ 时，$d=0$
C．当 $-1<q<0$ 时，$S_{10}>T_{10}$
D．当 $q<-1$ 时，集合 $\left\{n\mid a_n=b_n\right\}$ 可能有三个元素
答案 ACD．
解析 不妨设 $a_1=b_1=1$，记 $q$ 为 $x$，则 $a_{10}=b_{10}=x^9$，此时设 $f(x)=S_{10}-T_{10}$，则\[f(x)=5(1+x^9)-(1+x+x^2+\cdots+x^9)=4(1+x^9)-(x+x^2+\cdots+x^8).\]
对于选项 $\boxed{A}$，当 $d>0$ 时，$x>1$，此时\[1+x^9>x+x^8>x^2+x^7>x^3+x^6>x^4+x^5,\]因此 $f(x)>0$，选项正确；
对于选项 $\boxed{B}$，由于 $f(-1)=0$，此时 $d=\frac{x^9-1}{9}=-\frac 29\ne 0$，选项错误；
对于选项 $\boxed{C}$，注意到\[(1-x)f(x)=4-5x+5x^9-4x^{10}=4(1-x^{10})-5x(1-x^8),\]因此当 $x\in(-1,0)$ 时，$f(x)>0$，选项正确；
对于选项 $\boxed{D}$，方程 $a_n=b_n$ 即\[\left(1+\frac{q^9-1}9\cdot (n-1)\right)=q^{n-1}\iff (q^9-1)(n-1)=9(q^{n-1}-1),\]当 $n=1,10$ 时满足方程；当 $n$ 是大于 $1$ 的奇数时，若 $q<-1$，则左边小于 $0$，右边大于 $0$，方程不成立；当 $n$ 是小于 $10$ 的偶数时，记 $q=-p$（$p>1$），$x=n-1$，则\[(-x^9-1)m=9(-x^m-1)\iff \dfrac{p^9+1}{9}=\dfrac{p^x+1}{x},\]设右侧为函数 $g(x)$，则其导函数\[g'(x)=\dfrac{p^x\left(\ln p\cdot x-1\right)}{x^2},\]于是 $g'(x)$ 是递减函数，因此可以取 $ p $ 使得 $ g(3)=g(9)$，即\[\dfrac{p^9+1}9=\dfrac{p^3+1}{3}\iff p^6-p^3-2=0\iff p=2^{\frac13},\]此时 $g(x)$ 在 $\left(0,\frac{1}{\ln p}\right)$ 上递减，在 $\left(\dfrac{1}{\ln p},9\right)$ 上递增，$g(x)=g(9)$ 等价于 $x=3,9$，因此集合 $\left\{n\mid a_n=b_n\right\}$ 有三个元素 $1,4,10$，选项正确；
综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．