2024年浙江杭州高三一模数学试题 #18
已知函数 $f(x)=a x\ln x-x^3-1$．
（1）若 $a=1$，求 $f^{\prime}(x)$ 的单调区间；
（2）若 $0\leqslant a\leqslant 3$，求证：$f(x)<0$；
（3）若 $h(x)=\dfrac{f(x)+x^3+1}a$，且存在 $x_1\neq x_2$ 使得 $h\left(x_1\right)=h\left(x_2\right)=b$，求证：\[b\mathrm e+1<\left|x_1-x_2\right|<b+1.\]
2024年浙江杭州高三一模数学试题 #17
设随机变量 $X$ 所有可能的取值为 $x_1,x_2,\cdots,x_n$，$P\left(X=x_i\right)=p_i>0$（$i=1,2,\cdots,n$），且 $p_1+p_2 +\cdots+p_n=1$．定义事件 $X=x_i$ 的信息量为 $H_i=-\ln p_i$，称 $X$ 的平均信息量\[H(X)= -\left(p_1\ln p_1+p_2\ln p_2+\cdots+p_n\ln p_n\right)\]为信息熵．
（1）若 $n=3$，$p_{k+1}=2 p_k$（$k=1,2$），求此时的信息熵；
（2）最大熵原理：对一个随机事件的概率分布进行预测时，要使得信息熵最大．信息熵最大就是事物可能的状态数最多，复杂程度最大，概率分布最均匀，这才是风险最小（最合理）的决定．证明：$H(X)\leqslant\ln n$，并解释等号成立时的实际意义． （参考不等式：若 $f(x)=\ln x$，则 $\displaystyle\sum_{i=1}^n p_i f\left(x_i\right)\leqslant f\left(\sum_{i=1}^n p_i x_i\right)$）
2024年浙江杭州高三一模数学试题 #11
已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，若 $f(f(x)+y z)=x+f(y) f(z)$，则（ ）
A．$f(1)=0$
B．$f(f(x))=x$
C．$f(x y)=f(x) f(y)$
D．$f(x+y)=f(x) f(y)$
2024年浙江杭州高三一模数学试题 #8
已知 $\forall x\in[1,+\infty)$，不等式 $\left(\ln^2 (ax)-1\right)\left(\mathrm e^x-b\right)\geqslant 0$ 恒成立，则（ ）
A．若 $a\in\left(0,\dfrac 1 {\mathrm e}\right)$，则 $b\leqslant\mathrm e$
B．若 $a\in\left(0,\dfrac 1 {\mathrm e}\right)$，则 $b>\mathrm e$
C．若 $a\in\left[\dfrac 1 {\mathrm e},\mathrm e\right)$，则 $a^b=\mathrm e^e$
D．若 $a\in\left[\dfrac 1 {\mathrm e},\mathrm e\right)$，则 $b^a=\mathrm e^\mathrm e$
2024年浙江杭州高三一模数学试题 #7
已知 $\dfrac 1{\sin 10^{\circ}}-\dfrac{\lambda}{\cos 10^{\circ}}=4$，则 $\lambda=$ （ ）
A．$1$
B．$\sqrt 2$
C．$\sqrt 3$
D．$2$
2024年浙江杭州高三一模数学试题 #6
设 $f(x)=\mathrm e^x+\ln x$，满足 $f(a) f(b) f(c)<0$（$0<a<b<c$）．若函数 $f(x)$ 存在零点 $x_0$，则（ ）
A．$x_0<a$
B．$x_0>a$
C．$x_0<c$
D．$x_0>c$
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#29
几个人讨论某个比赛的成绩，讨论内容如下：
张三：甲是第 $4$ 名；
李四：乙是第 $1$ 名或第 $3$ 名；
王五：丙排在乙前面；
刘六：丁是第 $1$ 名；
已知只有一个人说假话，下列正确的是（ ）
A．丙是第 $1$ 名
B．丁是第 $2$ 名
C．乙是第 $3$ 名
D．甲是第 $4$ 名
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#28
已知 $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_{10}$ 是 $1,2,3,\cdots,10$ 的排列，要求 $a_{i-1}$ 和 $a_{i+1}$ 一定有一个大于 $a_i$（$i=2,3,\cdots,9$），则满足要求的排列的总数为（ ）
A．$256$
B．$512$
C．$768$
D．$1024$
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#27
四面体 $V-ABC$ 中，$VA=VB=2\sqrt 2$，$VC=3$，$CA=CB=4$，则 $\overrightarrow{CA} $ 与 $ \overrightarrow{VB}$ 所成角的余弦的取值范围是（ ）
A．$\left(-\dfrac{15}{16\sqrt 2},\dfrac{19}{18\sqrt 2}\right)$
B．$\left(-\dfrac{15}{16\sqrt 2},\dfrac{17}{18\sqrt 2}\right)$
C．$\left(0,\dfrac{19}{18\sqrt 2}\right)$
D．$\left(0,\dfrac{49}{18\sqrt 2}\right)$
2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#26
已知直线 $l: a x+b y+c=0$，$P\left(x_1,y_1\right)$，$Q\left(x_2,y_2\right)$，$\lambda=\dfrac{a x_1+b y_1+c}{a x_2+b y_2+c}$，下列选项中正确的有（ ）
A．若 $\lambda>1$，则 $l$ 与射线 $ PQ$ 相交
B．若 $\lambda=1$，则 $l$ 与射线 $PQ$ 平行
C．若 $\lambda=-1$，则 $l$ 与射线 $PQ$ 垂直
D．若 $\lambda$ 存在，则点 $Q$ 在 $l$ 上
