2024年9月炎德英才名校联考联合体高三第1次联考 #19
若函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，且存在非零常数 $T$，使得对任意 $x\in\mathbb R$，都有 $f(x-T)+ f(x+T)=Tf(x)$，则称 $f(x)$ 是类周期为 $T$ 的类周期函数．
（1）若函数 $f(x)$ 是类周期为 $1$ 的类周期函数，证明：$f(x)$ 是周期函数；
（2）已知 $f(x)=2 x-\sin\omega x$（$\omega>0$）是类周期函数，求 $\omega$ 的值及 $f(x)$ 的类周期；
（3）若奇函数 $f(x)$ 是类周期为 $T$（$T>0$）的类周期函数，且 $\dfrac{f(3 T)}{f(T)}=1$，求 $T$ 的值，并给出符合条件的一个 $f(x)$．
2024年9月炎德英才名校联考联合体高三第1次联考 #18
已知正四棱柱 $ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的底面 $ABCD$ 为边长为 $3$ 的正方形，$AA_1=6$，点 $E,F,G$ 分别在线段 $A_1 D_1,AA_1,B_1 C_1$ 上，且 $A_1 F=2 A_1 E=2$，$C_1 G=\dfrac 3 2$，点 $H$ 在线段 $BB_1$ 上且 $EF\parallel GH$．
（1）求锐二面角 $A_1-FH-E$ 的余弦值；
（2）求平面 $EFHG$ 将四棱柱分割成两个多面体的体积比．
2024年9月炎德英才名校联考联合体高三第1次联考 #14
在三棱锥 $P-ABC$ 中，$AB=BC=CA=2$，$PA=PB$，二面角 $P-AB-C$ 的大小为 $\dfrac{\pi}3$，则 $PA^2+ PB^2+PC^2$ 最小时，三棱锥 $P-ABC$ 的体积为_____．
2024年9月炎德英才名校联考联合体高三第1次联考 #10
已知 $n>\dfrac m 2$，且 $x=\left|\log_2 m\right|$，$y=\left|\log_2 n+1\right|$，$z=2\left|\log_2\left(\dfrac m 2+n\right)\right|$，则（ ）
A．若 $x=y$，则 $n>\dfrac 1 2$
B．若 $x=y$，则 $m+n$ 的最大值为 $\sqrt 2$
C．若 $x=y=z$，则 $m^4+2 m^2-4 m+1=0$
D．若 $x=y=z$，则 $n^2-2 n+\dfrac 3 4>0$
2024年9月炎德英才名校联考联合体高三第1次联考 #8
若 $\alpha,\beta,\gamma\in\left(2\pi,\dfrac{5\pi}2\right)$，且\[\sin\alpha-2\cos\dfrac{\beta+\gamma}2\sin\dfrac{\beta-\gamma}2=\cos\alpha-2\cos\dfrac{\beta+\gamma}2\cos\dfrac{\beta-\gamma}2=0,\]则 $\sin (\alpha-\beta)=$ （ ）
A．$\pm\dfrac 1 2$
B．$\dfrac 1 2$
C．$\pm\dfrac{\sqrt 3}2$
D．$-\dfrac{\sqrt 3}2$
设函数 $y=f(x),x\in D$．记 $\underbrace{f(f(f\cdots f(x)))}_{n~\text{个}~f}=f_n(x)$，$n\in\mathbb N$，$n\geqslant 1$．对于 $D$ 的非空子集 $A$，若对任意 $x\in A$，都有 $f(x)\in A$，则称函数 $y=f(x)$ 在集合 $A$ 上封闭．
（1）若 $g(x)=2^x$，$h(x)=2^{-x}$，$A=[0,1]$，分别判断函数 $y=g(x)$ 和 $y=h(x)$ 是否在集合 $A$ 上封闭；
（2）设 $f(x)=x^2$，$x\in\mathbb R$，区间 $B=[a,b]$（其中 $a<b$），若函数 $y=f(x)$ 在集合 $B$ 上封闭，求 $b-a$ 的最大值；
（3）设 $k\in\mathbb N$，$k\geqslant 1$，若函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，函数 $y=f(x)$ 和 $y=f_k(x)$ 的图象都是连续的曲线，且函数 $y=f_k(x)$ 在区间 $I=[a,b]$（其中 $a<b$）上封闭，证明：存在 $x_0\in\mathbb R$，使得 $f\left(x_0\right)=x_0$．
2024年10月广深实验高三数学六校考试模拟考试 #18
已知函数 $f(x)=\mathrm e^x-2 a x-1+2 a$．
（1）若 $a\in\mathbb R$，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $a\in\mathbb R$，已知函数 $g(x)=(x-1)\ln (x-1)$，若 $f(x)\geqslant g(x)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
2024年10月广深实验高三数学六校考试模拟考试 #14
已知定义域均为 $D$ 的函数 $f(x),g(x)$，若 $\forall x\in D,f(x)\geqslant a x+b\geqslant g(x)$，则称直线 $y=a x+b$ 为曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 的隔离直线．若 $f(x)=x^2+x-x\ln x-3$（$x\geqslant 1$），$g(x)=-x^2+4 x-4$（$x\geqslant 1$）则曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 的隔离直线的方程为_____．
2024年10月广深实验高三数学六校考试模拟考试 #8
若函数 $f(x)=\ln x+\dfrac 1 2 x^2+a x$ 有两个极值点 $x_1,x_2$，且 $f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)\leqslant-9$，则实数 $a$ 的取值范围是（ ）
A．$(-\infty,-4]$
B．$[4,+\infty)$
C．$\left(-\infty,-4\sqrt 2\right]$
D．$\left[2\sqrt 2,+\infty\right)$
2024年浙江杭州高三一模数学试题 #19
已知正项有穷数列 $A: a_1,a_2,\cdots,a_N$（$N\geqslant 3$），设 $T=\left\{x\mid x=\dfrac{a_j}{a_i},1\leqslant i<j\leqslant N\right\}$，记 $T$ 的元素个数为 $P(T)$．
（1）若数列 $A: 1,2,4,16$，求集合 $T$，并写出 $P(T)$ 的值；
（2）若 $A$ 是递增数列或递减数列，求证：" $P(T)=N-1$ " 的充要条件是 " $A$ 为等比数列"；
（3）若 $N=2 n+1$，数列 $A$ 由 $2,4,8,\cdots,2^n,4^n$ 这 $n+1$ 个数组成，且这 $n+1$ 个数在数列 $A$ 中每个至少出现一次，求 $P(T)$ 的取值个数．
