2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #15
在 $3\times 3$ 的数表中填入 $9$ 个自然数，使得每行、每列的三个数之和均为 $3$，共有_____种不同的填法．
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每日一题[3717]递推公式
2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #14
已知正项数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3$，$a_n+a_{n-1}=2+\dfrac{3n^2+n}{a_n-a_{n-1}}$（$n\geqslant 2$，$n\in\mathbb N^{\ast} $），则 $ a_{2025}=$ _____．
每日一题[3716]阿波罗尼斯圆
2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #13
已知 $\triangle ABC$ 中，$AB=45$，$\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{1012}{1013}$，则 $\triangle ABC$ 的面积的最大值是_____．
每日一题[3715]伪装数列
2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #11
已知不等式 $a_n^2+\left(\dfrac{S_n}n\right)^2\geqslant \lambda a_1^2$ 对任意等差数列 $\{a_n\}$ 以及正整数 $n$ 都成立，其中 $S_n$ 为 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，则 $\lambda$ 的最大值为_____．
每日一题[3714]三角计算
2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #8
在复平面上复数 $z_1,z_2$ 对应的点分别为 $Z_1,Z_2$，$O$ 为原点，若 $|z_1|=4$，$4z_1^2-2z_1z_2+z_2^2=0$，则 $\triangle OZ_1Z_2$ 的面积为_____．
每日一题[3713]二项式变形
2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #7
已知 $(5+x-5x^2)^{1012}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{2024}x^{2024}$，则 $2a_1+4a_3+6a_5+\cdots+2024 a_{2023}=$ _____．
每日一题[3712]分数近似
2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #5
已知 $m,n\in\mathbb N^{\ast}$，且 $m,n\leqslant 1000$，则 $\dfrac m{n+1}<\sqrt 3<\dfrac{m+1}n$ 的解 $(m,n)$ 的个数为_____．
每日一题[3709]数列宽度半径
2025 年北京市西城区高三期末数学试卷 #31
已知数列 $A: a_1,a_2,\cdots,a_{2 m}$ 为 $2 m$ 个数 $1,2,\cdots,2 m$ 的一个排列，其中 $m\in\mathbb N^{\ast}$，且 $m\geqslant 3$．若在集合 $\{1,2,\cdots,2 m-1\}$ 中至少有一个元素 $i$ 使得 $\left|a_i-a_{i+1}\right|=m$，则称数列 $A$ 具有性质 $P$．
1、当 $m=3$ 时，判断数列 $B: 1,5,3,4,6,2$ 和数列 $C: 6,5,2,4,1,3$ 是否具有性质 $P$；
2、若数列 $\left\{a_{2 n-1}\right\}$ 和 $\left\{a_{2 n}\right\}$（$n=1,2,\cdots,m$）均为等差数列，且 $a_1=1$，$a_{2 m}=2$，证明：对于所有的偶数 $m$，数列 $A: a_1,a_2,\cdots,a_{2 m}$ 不具有性质 $P$；
3、在所有由 $1,2,\cdots,2 m$ 的排列组成的数列中，记具有性质 $P$ 的数列的个数为 $S$，不具有性质 $P$ 的数列的个数为 $T$，证明：对于任意 $m$（$m\geqslant 3$），$S>T$．