Math173

2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#25

$\tan\left(\arctan 2+\arctan\dfrac 2{2^2}+\cdots+\arctan\dfrac 2{12^2}\right)=$ （       ）

A．$\dfrac{18}{13}$

B．$-\dfrac{18}{13}$

C．$\dfrac{13}{18}$

D．$-\dfrac{13}{18}$

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2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#24

在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A=60^{\circ}$，$\angle BAP=\angle CAP$，$P$ 在 $\triangle ABC$ 内部，延长 $BP$ 交 $AC$ 于 $Q$，且 $\dfrac 1{|BP|}+\dfrac 1{|CP|}=\dfrac 1{|PQ|}$，则 $\angle BPC=$ （       ）

A．$110^{\circ}$

B．$120^{\circ}$

C．$130^{\circ}$

D．$140^{\circ}$

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2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#23

已知 $a_1=1$，$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\lambda n^2-2 n}{n+1}$（$\lambda\geqslant 0$，$\lambda\in\mathbb R$），下列选项中正确的有（       ）

A．存在 $\lambda$，使存在正整数 $N$，使 $n\geqslant N$ 时，$a_{n+1}<a_n$ 恒成立

B．存在 $\lambda$，使不存在正整数 $N$，使 $n\geqslant N$ 时，$a_{n+1}<a_n$ 恒成立

C．存在 $\lambda$，使存在正整数 $N$，使 $n\geqslant N$ 时，$a_{n+1}>a_n$ 恒成立

D．存在 $\lambda$，使不存在正整数 $N$，使 $n\geqslant N$ 时，$a_{n+1}>a_n$ 恒咸立

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2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#22

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac{1}{3}$，$a_{n+1}=-\dfrac{1}{2 a_n-3}$，则（       ）

A．$\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} a_n=\dfrac 12$

B．$\left\{\dfrac{a_n-1}{a_n+1}\right\}$ 是等比数列

C．$S_n>\dfrac{n}{3}$

D．$S_n<\dfrac{n}{2}$

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2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#21

已知 $a,b \in \mathbb N^{\ast}$，$a+b \leqslant 2024$，且 $ab^2+b+7 \mid a^2b+a+b$，则数组 $(a,b)$ 的个数为（       ）

A．$16$

B．$17$

C．$18$

D．$19$

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2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#20

已知双曲线 $\Gamma: \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$），斜率为 $1$ 的直线与 $\Gamma$ 交于 $A B$ 两点，点 $C$ 在双曲线上且 $A C \perp B C$，$\triangle O A C$ 的重心为 $P$，$\triangle O B C$ 的重心为 $Q$，$\triangle A B C$ 的外心为 $R$，直线 $OP,OQ,OR$ 的斜率之积为 $-8$，则双曲线的离心率 $e=$ (       )

A．$\sqrt 2$

B．$\sqrt 3$

C．$2$

D．$\sqrt 5$

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2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#19

已知 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数，$m, n \in\mathbb N^{\ast}$，$A_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\left|f\left(\dfrac{k}{n}\right)-f\left(\dfrac{k-1}{n}\right)\right|$，则（       ）

A．$A_{2n}\geqslant A_n$

B．$A_{n+m}\geqslant A_n$

C．$A_{n+m}\geqslant 2A_n$

D．$A_{n+\infty}\geqslant 2A_n$

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2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#18

已知函数 $f(u)=u^2+a u+b-2$，$u=x+\dfrac{1}{x}$，$f(u)$ 有零点，则 $a^2+b^2$ 的最小值为（       ）

A．$\dfrac2{\sqrt 5}$

B．$\dfrac{\sqrt 5}2$

C．$\dfrac 45$

D．$\dfrac 54$

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2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#17

已知函数 $f(x)=\ln x+\cos x$ 的所有极值点依次为 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，则 $\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} (a_{n+1}-a_n)=$（       ）

A．$0$

B．$\dfrac{\pi}2$

C．$\pi$

D．不存在

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2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#16

已知正整数 $a, b, c$ 均不大于 $100$，$a>b>c$，且 $\dfrac 1a,\dfrac 1b,\dfrac 1c$ 构成等差数列，则数组 $(a,b,c)$ 的组数为（       ）

A．$82$

B．$84$

C．$86$

D．$88$

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