$P$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上一点，$F_1 , F_2$ 是 $C$ 的两个焦点，$\overrightarrow{PF}_1\cdot\overrightarrow{PF}_2=0$；点 $Q$ 在 $\angle F_1 PF_2$ 的平分线上，$O$ 为原点，$OQ\parallel PF_1$，且 $|OQ|=b$．则 $C$ 的离心率为（ ）
A．$\dfrac 1 2$
B．$\dfrac{\sqrt 3}3$
C．$\dfrac{\sqrt 6}3$
D．$\dfrac{\sqrt 3}2$
在平面直角坐标系 $x Oy$ 中，等轴双曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 的中心均为 $O$，焦点分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上，焦距之比为 $2$．$C_1$ 的右焦点 $F$ 到 $C_1$ 的渐近线的距离为 $\sqrt 2$．
1、求 $C_1,C_2$ 的方程．
2、过 $F$ 的直线交 $C_1$ 于 $A,B$ 两点，交 $C_2$ 于 $D,E$ 两点，$\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{DE}$ 的方向相同．
① 证明：$|AD|=|BE|$；
② 求 $\triangle AOD$ 面积的最小值．
设离散型随机变量 $X,Y$ 的取值分别为 $\left\{x_1,x_2,\cdots,x_p\right\},\left\{y_1,y_2,\cdots,y_q\right\}$（$p,q\in\mathbb N^{\ast}$）．定义 $X$ 关于事件 $Y=y_j$ $(1\leqslant j\leqslant q)$ 的条件数学期望为 \[E\left(X\mid Y=y_j\right)=\displaystyle\sum_{i=1}^p x_i P\left(X=x_i\mid Y=y_j\right),\] 已知条件数学期望满足全期望公式\[E(10)=\displaystyle\sum_{j=1}^q E\left(X\mid Y=y_j\right) P\left(Y=y_j\right),\] 解决如下问题： 为了研究某药物对于微生物 $A$ 生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第 $1$ 天上午，实验人员向培养血中加入 $10$ 个 $A$ 的个体．从第 $1$ 天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，$A$ 的每个个体立即以相等的概率随机产生 $1$ 次如下的生理反应（设 $A$ 的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：
① 直接死亡；
② 分裂为 $2$ 个个体．
设第 $n$ 天上午培养皿中 $A$ 的个体数量为 $X_n$．规定 $E\left(X_1\right)=10$，$D\left(X_1\right)=0$．
1、求 $P\left(X_2=4\right)$，$E\left(X_4\mid X_3=4\right)$．
2、证明：$E\left(X_n\right)=10$．
3、已知 $E\left(X_n^2\mid X_{n-1}=t\right)=t^2+t$（$t\in\mathbb N^{\ast}$）．求 $D\left(X_n\right)$，并结合第 $(2)$ 小题说明其实际含义． 附：对于随机变量 $X$，$D(10)=E\left(X^2\right)-E^2(10)$．
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1 , F_2$，$B$ 为上顶点，离心率为 $\dfrac 1 2$，直线 $BF_2$ 与圆 $4 x^2+4 y^2-3=0$ 相切．
1、求椭圆 $C$ 的标准方程．
2、过 $F_2$ 作直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点．
① 若 $\overrightarrow{MF_2}=\lambda\overrightarrow{F_2 N}$（$1<\lambda<2$），求 $\triangle MON$ 面积的取值范围；
② 若 $l$ 斜率存在，是否存在椭圆 $G$ 上一点 $Q$ 及 $x$ 轴上一点 $P\left(t,0\right)$，使四边形 $PMQN$ 为菱形？若存在，求 $t$．若不存在，请说明理由．
已知 $a$ 为常数，函数 $f(x)=x\ln x+a x^2$．
1、当 $a=1$ 时，求 $f(x)$ 在 $x=1$ 处切线方程．
2、讨论函数 $f(x)$ 的零点个数．
3、若函数 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$），求证：$-\dfrac 1 2<f\left(x_1\right)<0$．
已知抛物线 $y=\dfrac{x^2}4$，经过焦点 $F$ 斜率为 $k$（$k\neq 0$）的直线交抛物线于 $A,B$ 两点，线段 $AB$ 的垂直平分线交 $y$ 轴于点 $C$，则 $\dfrac{|AB|}{|CF|}$ 的值为_______．
双曲线 $C:\dfrac{x^2}{12}-\dfrac{y^2}4=1$ 的右焦点为 $F$，双曲线 $C$ 上有两点 $A,B$ 关于直线 $l: 3 x+y-8=0$ 对称，则 $\left|\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{FB}\right|=$（ ）
A．$2\sqrt 2$
B．$4\sqrt 2$
C．$2\sqrt 3$
D．$4\sqrt 3$
"不以规矩，不能成方圆"出自《孟子・离娄章句上》．"规" 指圆规，"矩" 指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量，画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以"矩" 量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角 $\alpha$ 满足 $\cos\alpha=\dfrac 1 3$，则这块四边形木板周长的最大值为（ ）
A．$\dfrac{10(\sqrt{30}+\sqrt{15})}3 ~{\rm cm}$
B．$\dfrac{10(\sqrt{30}-\sqrt{15})}3 ~{\rm cm}$
C．$\dfrac{10(\sqrt{10}+\sqrt 5)}3 ~{\rm cm}$
D．$\dfrac{10(\sqrt{10}-\sqrt 5)}3 ~{\rm cm}$
已知 $x \in\mathbb R$，$f(x)=\lfloor 2 x\rfloor+\lfloor 4 x\rfloor+\lfloor 6 x\rfloor+\lfloor 8 x\rfloor$，则不超过 $ 2024 $ 的正整数中可以作为 $f(x)$ 函数值的个数为（ ）
A．$1012$
B．$1215$
C．$1624$
D．$2024$
