无穷数列 $a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$ 的定义如下：如果 $n$ 是偶数，就对 $n$ 尽可能多次地除以 $2$，直到得出一个奇数，这个奇数就是 $a_n$；如果 $n$ 是奇数，就对 $3 n+1$ 尽可能多次地除以 $2$，直到得出一个奇数，这个奇数就是 $a_n$．
1、写出这个数列的前 $7$ 项．
2、如果 $a_n=m$ 且 $a_m=n$，求 $m,n$ 的值． 记 $a_n=f(n)$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，
3、求一个正整数 $n$，满足 \[n<f(n)<f(f(n))<\cdots<\underbrace{f(f(\cdots(}_{2024~\text{个}~f}n)\cdots)).\]
设抛物线 $C: x^2=2 p y$（$p>0$），直线 $l: y=k x+2$ 交 $C$ 于 $A,B$ 两点．过原点 $O$ 作 $l$ 的垂线，交直线 $y=-2$ 于点 $M$．对任意 $k\in\mathbb R$，直线 $AM,AB,BM$ 的斜率成等差数列．
1、求 $C$ 的方程．
2、若直线 $l^{\prime}\parallel l$，且 $l^{\prime}$ 与 $C$ 相切于点 $N$，证明：$\triangle AMN$ 的面积不小于 $2\sqrt 2$．
某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为 $94\%$；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为 $98\%$；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为 $97\%$．
1、从混合放在一起的零件中随机抽取 $3$ 个，用频率估计概率，记这 $3$ 个零件中来自甲工厂的个数为 $X$，求 $X$ 的分布列和数学期望．
2、为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率． 设事件 $A$ 为 "甲工厂提高了生产该零件的质量指标"，事件 $B$ 为 "该大型企业把零件交给甲工厂生产"．已知 $0<P(B)<1$，证明：$P(A\mid B)>P(A\mid\overline B)$．
已知函数 $f(x)=(a x+1)\mathrm e^x,f^{\prime}(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数，且 $f^{\prime}(x)-f(x)=2\mathrm e^x$．
1、若曲线 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的切线为 $y=k x+b$，求 $k,b$ 的值．
2、在 $(1)$ 的条件下，证明：$f(x)\geqslant k x+b$．
如图，三棱柱 $ABC-A_1 B_1 C_1$ 中，侧面 $BB_1 C_1 C\perp~\text{底面}~ABC$，且 $AB=AC$，$A_1 B=A_1 C$．
1、证明：$AA_1\perp~\text{平面}~ABC$．
2、若 $AA_1=BC=2$，$\angle BAC=90^{\circ}$，求平面 $A_1 BC$ 与平面 $A_1 BC_1$ 夹角的余弦值．
已知 $\triangle ABC$ 中，$\tan\dfrac B2=3\tan\dfrac C2$，双曲线 $E$ 以 $B,C$ 为焦点，且经过点 $A$，则 $E$ 的两条渐近线的夹角为_______；$\tan\dfrac A2+\tan\dfrac C2$ 的取值范围为_______．
设函数 $f(x)=[x]$ 的函数值表示不超过 $x$ 的最大整数，则在同一个直角坐标系中，函数 $y=f(x)$ 的图象与圆 $(x-t)^2+(y+t)^2=2 t^2$（$t>0$）的公共点个数可以是（ ）
A．$1$ 个
B．$2$ 个
C．$3$ 个
D．$4$ 个
$P$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上一点，$F_1 , F_2$ 是 $C$ 的两个焦点，$\overrightarrow{PF}_1\cdot\overrightarrow{PF}_2=0$，点 $Q$ 在 $\angle F_1 PF_2$ 的平分线上，$O$ 为原点，$OQ\parallel PF_1$，且 $|OQ|=b$，则 $C$ 的离心率为（ ）
A．$\dfrac 1 2$
B．$\dfrac{\sqrt 3}3$
C．$\dfrac{\sqrt 6}3$
D．$\dfrac{\sqrt 3}2$
点 $P$ 是边长为 $1$ 的正六边形 $ABCDEF$ 边上的动点，则 $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$ 的最大值为（ ）
A．$2$
B．$\dfrac{11}4$
C．$3$
D．$\dfrac{13}4$
已知 $a>0$，且 $a\neq 1$，则函数 $y=\log_a\left(x+\dfrac 1 a\right)$ 的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限
B．第一、三象限
C．第二、四象限
D．第三、四象限
