Math173

2024年10月广东深圳宝安中学高三数学测试 #7

设 $\left\{a_n\right\}$ 为等比数列，则对于任意的 $n\in ~\mathbb N^{\ast}$，均有 $a_{n+2}<a_n$ 是 $\left\{a_n\right\}$ 为递减数列的（       ）

 A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

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2024年9月雅礼中学高三月考数学试卷 #19

如图，点 $Z(a,b)$，复数 $z=a+b\mathrm i$（$a,b\in\mathbb R$）可用点 $Z(a,b)$ 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，$x$ 轴叫做实轴，$y$ 轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯豦数．按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．一般地，任何一个复数 $z=a+b\mathrm i$ 都可以表示成 $r(\cos\theta+\mathrm i\sin\theta)$ 的形式，即 $\begin{cases}a=r\cos\theta,\\b=r\sin\theta,\end{cases}$ 其中 $r$ 为复数 $z$ 模，$\theta$ 叫做复数 $z$ 的辐角（以 $x$ 非负半轴为始边，$\overrightarrow{OZ}$ 所在射线为终边的角），我们规定 $0\leqslant\theta<2\pi$ 范围内的辐角 $\theta$ 的值为辐角的主值，记作 $\arg z$．$r(\cos\theta+\mathrm i\sin\theta)$ 叫做复数 $z=a+b i$ 的三角形式，并给出复数三角形式的乘法公式：\[r_1\left(\cos\theta_1+\mathrm i\sin\theta_1\right)\cdot r_2\left(\cos\theta_2+\mathrm i\sin\theta_2\right)= r_1 r_2\left(\cos\left(\theta_1+\theta_2\right)+i\sin\left(\theta_1+\theta_2\right)\right),\]棣莫佛提出了公式：\[\big(r(\cos\theta+i\sin\theta)\big)^n=r^n(\cos n\theta+\mathrm i\sin n\theta),\]其中 $r>0$，$n\in \mathbb N^{\ast}$．

1、已知 $z=\dfrac 1 2+\dfrac{\sqrt 3}2\mathrm i,w=\dfrac{\sqrt 2}2+\dfrac{\sqrt 2}2\mathrm i$，求 $z w+z w^3$ 的三角形式；

2、已知 $\theta_0$ 为定值，$0\leqslant\theta_0\leqslant\pi$，将复数 $1+\cos\theta_0+\mathrm i\sin\theta_0$ 化为三角形式；

3、设复平面上单位圆内接正二十边形的 $20$ 个顶点对应的复数依次为 $z_1,z_2,\cdots,z_{20}$，求复数 $z_1^{2024},z_2^{2024},\cdots,z_{20}^{2024}$ 所对应不同点的个数．

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2024年9月雅礼中学高三月考数学试卷 #18

椭圆 $C:\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$，短轴长为 $2$，点 $P$ 为椭圆的右顶点．圆 $Q: x^2 +(y+1)^2=t^2$（$0<t<1$），过点 $P$ 作圆 $Q$ 的两条切线分别与椭圆交于 $A,B$ 两点（不同于点 $P$）．

1、求椭圆 $C$ 的方程；

2、当 $t$ 变化时，直线 $PA,PB$ 的斜率乘积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；

3、给定一个 $t$，椭圆上的点到直线 $AB$ 的距离的最大值为 $d$，当 $t$ 变化时，求 $d$ 的最大值，并求出此时 $t$ 的值．

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2024年9月雅礼中学高三月考数学试卷 #14

马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能目当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲口袋中装有 $1$ 个黑球和 $2$ 个白球，乙口袋中装有 $2$ 个黑球和 $1$ 个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行 $n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为 $X_n$，恰有 $1$ 个黑球的概率为 $p_n$，则 $p_1$ 的值是_____；$X_n$ 的数学期望 $E\left(X_n\right)$ 是_____．

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2024年9月雅礼中学高三月考数学试卷 #11

直线 $y=k x$ 与双曲线 $\dfrac{x^2}4-\dfrac{y^2}3=1$ 交于 $P,Q$ 两点，点 $P$ 位于第一象限，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $N$，点 $F$ 为双曲线的左焦点，则（       ）

A．若 $|PQ|=2\sqrt 7$，则 $PF\perp QF$

B．若 $PF\perp QF$，则 $\triangle PQF$ 的面积为 $4$

C．$\dfrac{|PF|}{|PN|}>2$

D．$|PF|-|PN|$ 的最小值为 $4$

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2024年9月雅礼中学高三月考数学试卷 #7

函数 $y=f(x)$ 的图象如左图所示，则如右图所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（       ）

A．$y=f\left(1-\dfrac 1 2 x\right)$

B．$y=-f\left(1-\dfrac 1 2 x\right)$

C．$y=f(4-2 x)$

D．$y=-f(4-2 x)$

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2024年10月北京人大附中高三月考数学试卷 #21

已知集合\[\Omega_n=\left\{X\mid X=\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right),x_i\in\{0,1\},i=1,2,\cdots,n\right\},\]对于任意 $X\in\Omega_n$，

操作一：选择 $X$ 中某个位置（某两个数之间或第一个数之前或最后一个数之后），插入连续 $k$ 个 $1$ 或连续 $k$ 个 $0$，得到 $Y\in\Omega_{n+k}$（$k\geqslant 1$）；

操作二：删去 $X$ 中连续 $k$ 个 $1$ 或连续 $k$ 个 $0$，得到 $Y\in\Omega_{n-k}$（$1\leqslant k\leqslant n-1$）；

进行 $1$ 次操作一或者操作二均称为 $1$ 次变换，在第 $n$ 次（$n\in\mathbb N^{\ast}$）变换的结果上再进行 $1$ 次变换称为第 $n+1$ 次变换．

1、若对 $X=(0,1,0)$ 进行两次变换，依次得到 $Y\in\Omega_4$，$Z\in\Omega_2$．直接写出 $Y$ 和 $Z$ 的所有可能情况．

2、对于 $X=\underbrace{(0,0,\cdots,0)\in\Omega_{100}}_{100~\text{个}~0}$ 和 $Y=\underbrace{(0,1,0,1,\cdots,0,1)\in\Omega_{100}}_{50~\text{组}~0,1}$ 至少要对 $X$ 进行多少次变换才能得到 $Y$？说明理由．

3、证明：对任意 $X,Y\in\Omega_{2 n}$，总能对 $X$ 进行不超过 $n+1$ 次变换得到 $Y$．

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2024年10月北京人大附中高三月考数学试卷 #20

已知函数 $f(x)=\mathrm e^x\left(x^2+x\right)$，记其在点 $(a,f(a))$ 处的切线方程为：$y=g_a(x)$．定义关于 $x$ 的函数 $F_a(x)=f(x)-g_a(x)$．

1、求 $g_1(x)$ 的解析式；

2、当 $a>0$ 时，判断函数 $F_a(x)$ 的单调性并说明理由；

3、若 $a$ 满足当 $x\neq a$ 时，总有 $\dfrac{f(x)-g_a(x)}{x-a}>0$ 成立，则称实数 $a$ 为函数 $f(x)$ 的一个 $Q$ 点，求 $f(x)$ 的所有 $Q$ 点．

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2024年10月北京人大附中高三月考数学试卷 #15

已知函数 $f(x)=|x+1|+|a x-2|$（$a>0$）定义域为 $\mathbb R$，最小值记为 $M(a)$，给出以下四个结论：

① $M(a)$ 的最小值为 $1$；

② $M(a)$ 的最大值为 $3$；

③ $f(x)$ 在 $(-\infty,-1)$ 上单调递减；

④ $a$ 只有唯一值使得 $y=f(x)$ 的图象有一条垂直于 $x$ 轴的对称轴．

其中所有正确结论的是[[nn]]．

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2024年10月北京人大附中高三月考数学试卷 #9

音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为葫芦曲线．它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次．如图所示，某一条葫芦曲线的方程为\[|y|=\left(2-\dfrac 1 2\left[\dfrac{2 x}{\pi}\right]\right)|\sin\omega x|,x\geqslant 0,\]其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．若该条曲线还满足 $\omega\in(1,3)$，经过点 $M\left(\dfrac 3 4\pi,\dfrac 3 2\right)$，则该条葫芦曲线与直线 $x=\dfrac 7 6\pi$ 交点的纵坐标为（       ）

A．$\pm\dfrac 1 2$

B．$\pm\dfrac{\sqrt 2}2$

C．$\pm\dfrac{\sqrt 3}2$

D．$\pm 1$

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