给定正整数 $n \geqslant 3$，设数列 $A_n: a_1, a_2, \cdots, a_n$ 满足 $a_i=\dfrac{i^2}{n}$（$i=1,2, \cdots, n$）．对于正数 $x$，定义\[G(x)=\max \{t \in \mathbb{N}\mid x \geqslant t \},\]其中 $\max M$ 表示数集 $M$ 中最大的数．记集合\[G\left(A_n\right)=\left\{G\left(a_i\right)\mid i=1,2, \cdots, n \right\},\]设 $G\left(A_n\right)$ 的元素个数为 $g\left(A_n\right)$．
1、写出集合 $G\left(A_3\right), G\left(A_4\right)$；
2、若 $n-g\left(A_n\right)=1$，求 $n$ 的所有可能取值；
3、证明：存在无穷多个 $n$ 使得 $g\left(A_n\right)=g\left(A_{n+1}\right)$．
已知椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右顶点为 $A(2,0)$，离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$．
1、求椭圆 $E$ 的方程；
2、过点 $P(0,2)$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $C, D$．在 $y$ 轴上是否存在点 $Q$ 使得直线 $Q C$ 与直线 $Q D$ 的斜率之和为 $0$？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，说明理由．
在长方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$A B=A D=2$，$A A_1=4$，$P$ 为棱 $A A_1$ 上的动点（不与 $A, A_1$ 重合），在直线 $C C_1$ 上的点 $Q$ 满足 $D Q \perp C P$．给出下列四个结论中所有正确结论的序号是____．
① $C P \perp B D$；
② $\angle P D Q$ 为定值；
③ 存在点 $P$，使得平面 $D B Q \perp~\text{平面}~D B P$；
④ 存在点 $P$，使得点 $Q$ 到平面 $D B P$ 的距离为 $2$．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=\dfrac{1}{2}$，$a_n a_{n+1}=2 a_{n+1}-1$（$n=1,2,3, \cdots$），设 $T_n=a_1 a_2 \cdots a_n$，则 $T_{2025}=$（ ）
A．$\dfrac{1}{2026}$
B．$\dfrac{1}{2025}$
C．$\dfrac{2024}{2025}$
D．$\dfrac{2025}{2026}$
对于给定的正整数 $n$（$n \geqslant 2$），设集合 $M=\{k \in \mathbb{Z} \mid-n \leqslant k \leqslant n\}$，集合 $A, B$ 是 $M$ 的非空子集且满足 $A \cup B=M$，$A \cap B=\varnothing$．若对于任意 $x \in A$，在集合 $B$ 中有唯一确定的数 $y$，使得 $x+y$ 为偶数，则记 $y=p(x)$，并称 $p: A \to B$ 为从集合 $A$ 到集合 $B$ 的 $P$ 函数．
1、当 $n=3$ 时，若集合 $A=\{-3,-1,1,3\}$，写出集合 $B$，并判断从集合 $A$ 到集合 $B$ 是否存在 $P$ 函数？说明理由；
2、若集合 $A$ 至少包含一个奇数，且 $p: A \to B$ 为从集合 $A$ 到集合 $B$ 的 $P$ 函数，求证：存在 $x \in A$，使得 $p(x)=-x$；
3、若 $p: A \to B$ 为从集合 $A$ 到集合 $B$ 的 $P$ 函数，且对于任意 $x \in A$，都有 $p(x) \geqslant x$，求满足条件的集合 $A$ 的所有可能．
已知函数 $f(x)=\begin{cases} x^2-2 x, &x \geqslant a, \\ 2^x+a, &x<a .\end{cases}$ 给出下面四个结论：
① 当 $a=1$ 时 $f(x)$ 只有一个零点；
② 对任意 $a>3$，$f(x)$ 既没有最大值，也没有最小值；
③ 存在实数 $ a $，$f(x)$ 在 $ \mathbb{R} $ 上单调递增；
④ 若 $ f(x)$ 存在最小值，则 $ a $ 的最小值为 $ -1$．
其中所有正确结论的序号是_____．
已知不等式 $(x-m)\left(x^2-n x-2\right) \geqslant 0$ 对任意 $x>0$ 均成立，则 $m^2+n^2$ 的最小值为（ ）
A．$4 \sqrt{2}-4$
B．$4$
C．$4 \sqrt{2}$
D．$4 \sqrt{2}+2$
如图，边长分别为 $1,2,\sqrt 5$ 的直角三角形 $PQR$ 内接于等腰直角三角形 $ABC$，直角顶点在斜边 $AB$ 上，$Q,R$ 分别在 $BC,CA$ 上，则 $\triangle ABC$ 的面积的最大值为_____．
已知正数 $x, y$ 满足 $\sqrt{9 x^2-1}+\sqrt{9 y^2-1}=9 x y$，则 $4 x^2+y^2$ 的最小值为（ ）
A．$\dfrac 34$
B．$\dfrac 89$
C．$1$
D．$\dfrac 54$
