每日一题[1] 特殊三角形的极坐标表达

求抛物线\(y^2=2px(p>0)\)的内接等腰直角三角形面积的最小值.

QQ20150101-4


cover设抛物线的内接等腰直角三角形为\(\triangle ABC\),直角顶点为\(A(2pt^2,2pt)\),平移坐标系,使得原点为\(A\),则抛物线方程变为

\[(y+2pt)^2=2p(x+2pt^2),\]

即\[y^2+4pty-2px=0.\]

此时,可设\(B(r\cos\theta,r\sin\theta)\),\(C(-r\sin\theta,r\cos\theta)\),则

\[r^2\sin^2\theta+4pt\cdot r\sin\theta-2p\cdot r\cos\theta=0,\\r^2\cos^2\theta+4pt\cdot r\cos\theta+2p\cdot r\sin\theta=0.\]

于是\[4t=\dfrac{2p\cos\theta-r\sin^2\theta}{p\sin\theta}=\dfrac{2p\sin\theta+r\cos^2\theta}{-p\cos\theta},\]

从而解得\[r=\dfrac{2p}{\sin\theta\cdot\cos\theta(\sin\theta-\cos\theta)}.\]

其中,令\(S=\sin\theta\cdot\cos\theta\),则由于\(\theta\in\left(-\dfrac{\pi}2,0\right)\),于是\(S\in\left[-\dfrac 12,0\right)\).

此时\[S_{\triangle ABC}=\dfrac 12r^2=\dfrac{2p^2}{s^2(1-2s)},\]

于是当\(s=-\dfrac 12\),即\(\theta=-\dfrac{\pi}4\)时,\(\triangle ABC\)的面积取得最小值为\(4p^2\).

   此题为2014年北京市海淀区查漏补缺题改编而成.


另法    设\(A\left(\dfrac{a^2}{2p},a\right),B\left(\dfrac{b^2}{2p},b\right),C\left(\dfrac{c^2}{2p},c\right)\),则\[\begin{split}S_{\triangle ABC}&=\dfrac 12AB^2\\&=\dfrac 12\left[(a-b)^2+(c-a)^2\right]\\&=\dfrac 12[2a^2-2a(b+c)+b^2+c^2].\end{split}\]

又\(AC\perp AB\),于是\[\dfrac{c-a}{\dfrac{c^2}{2p}-\dfrac{a^2}{2p}}\cdot\dfrac{b-a}{\dfrac{b^2}{2p}-\dfrac{a^2}{2p}}=-1,\]整理得\[a(b+c)=-a^2-bc-4p^2,\]

代入面积的计算式可得\[S_{\triangle ABC}=2a^2+\dfrac 12(b+c)^2+4p^2.\]

于是当\(A(0,0),B(2p,2p),C(2p,-2p)\)时,抛物线的内接等腰直角三角形面积最小,最小值为\(4p^2\).

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每日一题[1] 特殊三角形的极坐标表达》有 2 条评论

  1. seawayxl seawayxl说:

    θ角的范围是 (-π/2,0) 是怎么得到的呢?

  2. Pingback引用通告: 解析几何解题技巧之极坐标 | Math173

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