2015年高考福建卷理科数学第20题（压轴题）：
已知函数\(f(x)=\ln (1+x)\)，\(g(x)=kx\)，\(k\in \mathcal R\)．
（1）证明：当\(x>0\)时，\(f(x)<x\)；
（2）证明：当\(k<1\)时，存在\(x_0>0\)，使得对任意\(x\in (0,x_0)\)，恒有\(f(x)>g(x)\)；
（3）确定\(k\)的所有可能取值，使得存在\(t>0\)，对任意\(x\in (0,t)\)，恒有\(\left|f(x)-g(x)\right|<x^2\)．
2015年高考数学浙江理科第15题（填空压轴题）：
已知\({\vec e_1}\)，\(\vec e_2\)是空间单位向量，\({\vec e_1}\cdot {\vec e_2}=\dfrac 12\)．若空间向量\(\vec b\)满足\({\vec b}\cdot{\vec e_1}=2\)，\({\vec b}\cdot{\vec e_2}=\dfrac 52\)，且对于任意\(x,y\in\mathcal R\)，\(\left|{\vec b}-\left(x{\vec e_1}+y{\vec e_2}\right)\right|\geqslant \left|{\vec b}-\left(x_0{\vec e_1}+y_0{\vec e_2}\right)\right|=1\)（\(x_0,y_0\in\mathcal R\)），则\(x_0=\)_______，\(y_0=\)_______，\(\left|\vec b\right|=\)_______．
2015年高考浙江卷理科数学第20题（压轴题）：
已知数列\(\left\{a_n\right\}\)满足\(a_1=\dfrac 12\)且\(a_{n+1}=a_n-a_n^2\)（\(n\in\mathcal N^*\)）．
（1）证明：\(1\leqslant \dfrac{a_n}{a_{n+1}}\leqslant 2\)（\(n\in\mathcal N^*\)）；
（2）设数列\(\left\{a_n^2\right\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，证明：\(\dfrac{1}{2(n+2)}\leqslant\dfrac{S_n}{n}\leqslant \dfrac{1}{2(n+1)}\)（\(n\in\mathcal N^*\)）．
2015年高考浙江卷理科数学第8题（选择压轴题）：
如图，已知三角形\(ABC\)，\(D\)是\(AB\)的中点，沿直线\(CD\)将三角形\(ACD\)折成三角形\(A'CD\)，所成二面角\(A'-CD-B\)的平面角为\(\alpha\)，则（ ）
A．\(\angle A'DB\leqslant\alpha\)
B．\(\angle A'DB\geqslant \alpha\)
C．\(\angle A'CB\leqslant \alpha\)
D．\(\angle A'CB\geqslant \alpha\)
2015年高考数学安徽卷理科数学第21题（压轴题）：
设函数\(f(x)=x^2-ax+b\)．
（1）讨论函数\(f(\sin x)\)在\(\left(-\dfrac \pi 2,\dfrac\pi 2\right)\)内的单调性，并判断有无极值，有极值时求出极值；
（2）记\(f_0(x)=x^2-a_0x+b_0\)，求函数\(\left|f(\sin x)-f_0(\sin x)\right|\)在\(\left[-\dfrac\pi 2,\dfrac\pi 2\right]\)上的最大值\(D\)；
（3）在（2）中，取\(a_0=b_0=0\)，求\(z=b-\dfrac{a^2}4\)满足\(D\leqslant 1\)时的最大值．
2015年高考数学安徽卷理科第15题（填空压轴题）：
设\(x^3+ax+b=0\)，其中\(a,b\)均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是_______（写出所有正确条件的编号）．
① \(a=-3\)，\(b=-3\)；
② \(a=-3\)，\(b=2\)；
③ \(a=-3\)，\(b>2\)；
④ \(a=0\)，\(b=2\)；
⑤ \(a=1\)，\(b=2\)．
2015年高考数学江苏卷理科第14题：
设向量\(\vec a_k=\left(\cos\dfrac{k\pi}{6},\sin\dfrac{k\pi}{6}+\cos\dfrac{k\pi}{6}\right)\)，\(k=0,1,2,\cdots,12\)，则\(\sum\limits_{k=0}^{11}\left(\vec a_k\cdot \vec a_{k+1}\right)\)的值为_______．
2015年高考数学山东卷理科第21题（压轴题）：
设函数\(f(x)=\ln (x+1)+a\left(x^2-x\right)\)，其中\(a\in\mathcal R\)．
（1）讨论函数\(f(x)\)极值点的个数，并说明理由；
（2）若\(\forall x>0,f(x)\geqslant 0\)成立，求\(a\)的取值范围．
1、（2015年·天津·理14）在等腰梯形\(ABCD\)中，已知\(AB\parallel DC\)，\(AB=2\)，\(BC=1\)，\(\angle ABC=60^\circ\)．动点\(E\)和\(F\)分别在线段\(BC\)和\(DC\)上，且\(\overrightarrow{BE}=\lambda\overrightarrow{BC}\)，\(\overrightarrow{DF}=\dfrac{1}{9\lambda}\overrightarrow{DC}\)，则\(\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AF}\)的最小值为_______．
2、（2015年·广东·理8）若空间中\(n\)个不同的点两两距离都相等，则正整数\(n\)的取值（ ）
A．至多等于\(3\)
B．至多等于\(4\)
C．等于\(5\)
D．大于\(5\)
3、（2015年·山东·理10）设函数\(f(x)=\begin{cases}3x-1,&x<1,\\2^x,&x\geqslant 1,\end{cases}\)则满足\(f(f(a))=2^{f(a)}\)的\(a\)的取值范围是（ ）
A．\(\left[\dfrac 23,1\right]\)
B．\([0,1]\)
C．\(\left[\dfrac 23,+\infty\right)\)
D．\([1,+\infty)\)
4、（2015年·山东·理15）平面直角坐标系\(xOy\)中，双曲线\(C_1:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0,b>0\)）的渐近线与抛物线\(C_2:x^2=2py\)（\(p>0\)）交于\(O\)、\(A\)、\(B\)，若三角形\(OAB\)的垂心为\(C_2\)的焦点，则\(C_1\)的离心率为________．
5、（2015年·安徽·理10）已知函数\(f(x)=A\sin\left(\omega x+\varphi\right)\)（\(A\)，\(\omega\)，\(\varphi\)均为正的常数）的最小正周期为\(\pi\)，当\(x=\dfrac{2\pi}3\)时，函数\(f(x)\)取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
A．\(f(2)<f(-2)<f(0)\)
B．\(f(0)<f(2)<f(-2)\)
C．\(f(-2)<f(0)<f(2)\)
D．\(f(2)<f(0)<f(-2)\)
6、（2015年·福建·理10）若定义在\(\mathcal R\)上的函数\(f(x)\)满足\(f(0)=-1\)，其导函数\(f'(x)\)满足\(f'(x)>k>1\)，则下列结论中一定错误的是（ ）
A．\(f\left(\dfrac 1k\right)<\dfrac 1k\)
B．\(f\left(\dfrac 1k\right)>\dfrac 1{k-1}\)
C．\(f\left(\dfrac 1{k-1}\right)<\dfrac 1{k-1}\)
D．\(f\left(\dfrac 1{k-1}\right)>\dfrac k{k-1}\)
7、（2015年·福建·理15）一个二元码是由\(0\)和\(1\)组成的数字串\(x_1x_2\cdots x_n\)（\(n\in\mathcal N^*\)），其中\(x_k\)（\(k=1,2,\cdots,n\)）称为第\(k\)位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由\(0\)变为\(1\)，或者由\(1\)变为\(0\)）．
已知某种二元码\(x_1x_2\cdots x_7\)的码元满足如下校验方程组：\[\begin{cases}x_4\oplus x_5\oplus x_6\oplus x_7=0,\\x_2\oplus x_3\oplus x_6\oplus x_7=0,\\x_1\oplus x_3\oplus x_5\oplus x_7=0,\end{cases}\]其中运算“\(\oplus\)”定义为：\(0\oplus 0=0\)，\(0 \oplus 1=1\)，\(1 \oplus 0=1\)，\(1\oplus 1=0\)．
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第\(k\)位发生码元错误后变成了\(1101101\)，那么利用上述校验方程组可判定\(k\)等于_______．
2015年高考数学广东卷理科第21题（压轴题）：
数列\(\left\{a_n\right\}\)满足：\[a_1+2a_2+\cdots+na_n=4-\frac{n+2}{2^{n-1}},n\in\mathcal N^*.\]
（1）求\(a_3\)的值；
（2）求数列\(\left\{a_n\right\}\)的前\(n\)项和\(T_n\)；
（3）令\(b_1=a_1\)，\(b_n=\dfrac{T_{n-1}}n+\left(1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots+\dfrac 1n\right)a_n\)（\(n\geqslant 2\)），证明：数列\(\left\{b_n\right\}\)的前\(n\)项和\(S_n\)满足\(S_n<2+2\ln n\)．
