每日一题[24]函数方程试题一则

这次是2008年英国数学奥林匹克的一道试题(2008/9 British Mathematical Olympiad,Round 2):

求所有的函数\(f:\mathcal R\to \mathcal R\),使得对任意\(x,y\in\mathcal R\)有

\[f(x^3)+f(y^3)=(x+y)\left[f(x^2)+f(y^2)-f(xy)\right].\]


cover 令\(y=-x\),可得\(f(-x^3)=-f(x^3)\),于是\(f(x)\)为奇函数;

令\(y=x\),可得\(f(x^3)=xf(x^2)\),于是\[xf(x^2)+yf(y^2)=xf(x^2)+xf(y^2)+yf(x^2)+yf(y^2)-f(xy)(x+y),\]整理得\[f(xy)(x+y)=xf(y^2)+yf(x^2).\]

分别令\(y=1,y=-1\)得\[\begin{cases}(x+1)f(x)=xf(1)+f(x^2)\\ (x-1)f(-x)=xf(1)-f(x^2)\end{cases}\]两式相加即得\[f(x)=xf(1).\]


   原题描述为:

Find all functions \(f\) from the real numbers to the real numbers which satisfy

\[f(x^3)+f(y^3)=(x+y)\left[f(x^2)+f(y^2)-f(xy)\right]\]

for all the real numbers \(x\) and \(y\).

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

每日一题[24]函数方程试题一则》有 2 条评论

  1. 晟嫣说:

    对高三的我有启迪作用,谢谢,你有qq吗,我想加你,我怕你不加我,所以恳求你加我

发表评论