Math173

已知椭圆\(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1\)的左右焦点分别为\(F_1,F_2\)，点\(P\)在直线\(l:x-\sqrt 3y+8+2\sqrt 3=0\)上，当\(\angle F_1PF_2\)取最大值时，\(\dfrac{PF_1}{PF_2}=\)________．

继续阅读 →

今天的题目是2013年四川高考理科数学卷选择题的最后一题改成的填空题．

设函数\(f(x)=\sqrt{{\mathrm e}^x+x-a}\)（\(a\in\mathcal R\)）．若曲线\(y=\sin x\)上存在点\((x_0,y_0)\)使得\(f(f(y_0))=y_0\)，则\(a\)的取值范围是_________．

继续阅读 →

已知\[\frac{a}{k^2+1}+\frac{b}{k^2+2}+\frac{c}{k^2+3}+\frac{d}{k^2+4}+\frac{e}{k^2+5}+\frac{f}{k^2+6}=\frac{1}{k^2}\]对\(k=1,2,3,4,5,6\)均成立，求\(a+b+c+d+e+f\)的值．

继续阅读 →

如图，已知圆\(G:(x-2)^2+y^2=r^2\)是椭圆\(\dfrac{x^2}{16}+y^2=1\)的内接三角形\(ABC\)的内切圆，其中\(A\)为椭圆的左顶点．

（1）求圆\(G\)的半径\(r\)；

（2）过\(M(0,1)\)作圆的两条切线交椭圆于\(E,F\)两点，证明：直线\(EF\)与圆\(G\)相切．

继续阅读 →

已知\(O\)是锐角三角形\(ABC\)外接圆的圆心，若\[\frac{\cos B}{\sin C}\overrightarrow{AB}+\frac{\cos C}{\sin B}\overrightarrow{AC}=2m\overrightarrow{AO},\]则\(m=\)________．

继续阅读 →

代数式的最值问题一般通过合理的选择参数，将代数式最值问题转换为多变元条件不等式问题或者单变元函数的最值问题．在选择参数时，有效地连接各个已知条件是我们必修的基本功．

已知三角形\(ABC\)中，\(AB\)边上的高与\(AB\)边的长相等，则\[\dfrac{AC}{BC}+\dfrac{BC}{AC}+\dfrac{AB^2}{BC\cdot AC}\]的最大值是________．

继续阅读 →

已知函数\[f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d\]其中\(a,b,c,d\)为实常数，\(f(x)\)的图象经过三点\(A\left(2,\dfrac 12\right)\)，\(B\left(3,\dfrac 13\right)\)，\(C\left(4,\dfrac 14\right)\)，求\(f(1)+f(5)\)的值．

继续阅读 →

今天的问题是从2011年第二届世界数学锦标赛青年组接力赛第二轮的一道试题开始的．

求方程\[(x+1)(x^2+1)(x^3+1)=30x^3\]的所有实数根之和．

这个问题并不难解决\[\begin{split}&\qquad(x+1)(x^2+1)(x^3+1)=30x^3\\&\Leftrightarrow x^6+x^5+x^4+x^2+x+1=28x^3\\&\Leftrightarrow x^3+x^2+x+\dfrac 1x+\dfrac 1{x^2}+\dfrac 1{x^3}=28.\end{split}\] 令\[t=x+\dfrac 1x,t\in (-\infty,-2]\cup [2,+\infty)\]则上述方程可以化为\[\left(t^3-3t\right)+\left(t^2-2\right)+t=28,\]即\[(t-3)(t^2+4t+10)=0,\]舍去虚根解得\[t=3.\] 因此\[x+\dfrac 1x=3,\]即\[x^2-3x+1=0,\]其所有实数根之和为\(3\)．

这道试题并不是今天的问题，仅仅是提示而已．今天的问题是16世纪的竞赛题（那时，数学家常常把自己的发现秘而不宣，而是向同伴提出挑战，让他们解决同样的问题．想必这是一项很砥砺智力，又吸引人的竞赛）：

解关于\(x\)的方程\[x^3+px+q=0.\]

问题的关键在于如何进行恰当的换元．

注意到\[\left(t+\dfrac 1t\right)^3=t^3+\dfrac 1{t^3}+3\left(t+\dfrac 1t\right).\] 也就是说，如果\(p=-3\)，那么我们做换元\(x=t+\dfrac 1t\)，方程就转化为\[t^3+\dfrac 1{t^3}+q=0,\]即\[(t^3)^2+q\cdot t^3+1=0,\]可以利用二次方程的求根公式求得\(t^3\)，进而求出\(t\)，然后代回\(x=t+\dfrac 1t\)，求根过程就完成了．

现在面临的困难是如何处理\(p\)，需要对换元进行一个小小的改造．

由于\[\left(t+\dfrac ut\right)^3=t^3+\dfrac{u^3}{t^3}+3u\left(t+\dfrac ut\right),\]因此令\(x=t+\dfrac ut\)，其中\(u\)为待定系数，那么原方程变为\[t^3+\dfrac{u^3}{t^3}+(3u+p)\cdot\left(t+\dfrac ut\right)+q=0.\] 在这个方程中，令\(u=-\dfrac p3\)，就会和之前一样变成一个关于\(t^3\)的二次方程，以下略．

事实上，任何一个三次方程\[ax^3+bx^2+cx+d=0,a\neq 0\]都可以利用完全立方公式\[\left(x+\dfrac b{3a}\right)^3=x^3+\dfrac bax^2+\dfrac {b^2}{3a^2}x+\dfrac {b^3}{27a^3}=0\]通过配方转化为\[x^3+px+q=0\]的形式．因此掌握了这个方法，就等于掌握了一般三次方程的解法．

在一般三次方程的解法中，我们用到的换元\(x=t+\dfrac ut\)同样也是解高次方程的重要换元．需要注意到的是，在每一步的求解过程中，要先弄清是求方程的实根还是所有根．

最后留一道练习题．

求关于\(x\)的方程\[x^5+10x^3+20x-4=0\]的所有根．

答案是\[x=\left(2^{\frac 35}-2^{\frac 25}\right)\cos\dfrac{2k\pi}{5}+\left(2^{\frac 35}+2^{\frac 25}\right)\mathcal{i}\sin\dfrac{2k\pi}{5},k=0,1,2,3,4.\]其中用到的代换为\(x=t-\dfrac 2t\)．