已知实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n>0$，证明：\[\sum_{i=1}^n\dfrac{a_{i-1}}{a_i}\geqslant\sum_{i=1}^n\dfrac{a_{i-1}+a_i+1}{a_i+a_{i+1}+1},\]其中 $a_0=a_n$，$a_{n+1}=a_1$．
每日一题[3685]环染色
2023年全国高中数学联赛北京市预赛 #12
现有 $11$ 位同学报名博物馆的志愿讲解活动，活动从上午 $9$ 点开始到下午 $5$ 点结束，每小时安排一场公益小讲堂，每场需要 $1$ 位同学为参观的游客提供讲解服务．为避免同学们劳累，馆方在排班时不会让同一人连续讲解 $2$ 场，并且第一场与最后一场需要两位不同的同学负责，则馆方共有_____种排班方式．
每日一题[3684]步步维艰
2023年全国高中数学联赛北京市预赛 #11
已知 $a , b$ 为正整数，$a<b$，且 $a , b$ 互质，关于 $x , y$ 的不等式 $a x+b y<a b$ 有且只有 $2023$ 组正整数解，则 $(a, b)=$ _____．（求出满足题意的所有可能数组）
每日一题[3682]三角与因式分解
2023年全国高中数学联赛北京市预赛 #7
已知在 $\triangle ABC$ 中，$a=2 b$，$\cos B=\dfrac{2\sqrt 2}3$，则 $\sin\dfrac{A-B}2+\sin\dfrac C 2=$ _____．
每日一题[3681]双升
2023年全国高中数学联赛北京市预赛 #4
已知集合 $A=\{1,2,3\}$，映射 $f: A\rightarrow A$，且满足对任意 $x\in A$，有 $f(f(x))\geqslant x$，则这样的 $f$ 有_____个．
每日一题[3680]冤家路窄
2023年全国高中数学联赛北京市预赛 #3
已知函数 $f(x)=\sin\omega x+\sin 2 x$，其中 $\omega\in\mathbb N^+$，$\omega\leqslant 2023$，若 $f(x)<2$ 恒成立，则满足题设的常数 $\omega$ 的个数为_____．
每日一题[3679]集合分划
集合 $\{1,2,\cdots, 2023\}$ 的子集 $S$ 中，任意两个元素的平方和不是 $9$ 的倍数，则 $|S|$ 的最大值为[[nn]]．（这里 $|S|$ 表示 $S$ 的元素个数）
每日一题[3678]只露尻尾
如图，$\angle ACB=90^{\circ}$，$AC=BC$，$AD\perp CE$，$BE\perp CE$，垂足分别是点 $D, E$．如果 $AD=8$，$BE=3$，那么 $DE=$ [[nn]]．
每日一题[3677] 逐步递进
2025 年北京市朝阳区高三期末数学试卷 #21
已知无穷数列 $\left\{a_{n}\right\}$，给定正整数 $m$，若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足以下两个性质，则称 $\left\{a_{n}\right\}$ 为 $P_{m}$ 数列：
① $a_{1} \in \mathbb{N}^{\ast} $；
② $a_{n+1}=\begin{cases}a_{n}^{2}+2^{m}, &a_{n}<2^{m}, \\ \dfrac{a_{n}}{2}, &a_{n} \geqslant 2^{m} .\end{cases}$
1、已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 分别为 $P_{2}$ 数列和 $P_{3}$ 数列，且 $a_{1}=8$，$ b_{1}=10$，求 $a_{4}$ 和 $b_{4}$；
2、已知正整数数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是 $P_{m}$ 数列．
① 无穷数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 满足 $c_{n}=\dfrac{a_{n}}{2^{d_{n}}}$ 且 $c_{n}$ 为奇数，其中 $d_{n} \in \mathbb{N}$，证明：对于任意的 $n \in \mathbb{N}^{\ast}$，$c_{n}<2^{m}$；
② 求满足条件的 $m$，并写出与 $m$ 对应的 $a_{1}$ 所有可能取值．