每日一题[162]参数方程与仿射变换

2015年高考湖北卷理科数学第21题(解析几何大题):

一种作图工具如图所示.\(O\)是滑槽\(AB\)的中点,短杆\(ON\)可绕\(O\)转动,长杆\(MN\)通过\(N\)处铰链与\(ON\)连接,\(MN\)上的栓子可沿滑槽\(AB\)滑动,且\(DN=ON=1\),\(MN=3\).当栓子\(D\)在滑槽\(AB\)内作往复运动时,带动\(N\)绕\(O\)转动一周(\(D\)不动时,\(N\)也不动),\(M\)处的笔尖画出的曲线记为\(C\).以\(O\)为原点,\(AB\)所在的直线为\(x\)轴建立平面直角坐标系.

QQ20150626-1

(1)求曲线\(C\)的方程;

(2)设动直线\(l\)与两定直线:\(l_1:x-2y=0\)和\(l_2:x+2y=0\)分别交于\(P\)、\(Q\)两点.若直线\(l\)总与曲线\(C\)有且只有一个公共点,试探究:\(\triangle OPQ\)的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.


cover(1)    设\(N\left(\cos\theta,\sin\theta\right)\),则\(D\left(2\cos\theta,0\right)\),于是由\[\overrightarrow{NM}=-\dfrac 32\overrightarrow{MD}\]得\[M\left(\dfrac{x_N-\frac 32x_D}{1-\frac 32},\frac{y_N-\frac 32y_D}{1-\frac 32}\right)=M\left(4\cos\theta,-2\sin\theta\right),\]于是可得曲线\(C\)的方程为\[\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1.\]

(2)    存在最小值,最小值为\(8\).证明如下:

在伸缩变换\[\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\]下,椭圆\(C\)变为圆\(x'^2+y'^2=16\).而在变换后直线\(l_1'\)和\(l_2'\)则变为互相垂直的直线\(x'-y'=0\)和\(x'+y'=0\),如图.

QQ20150626-1@2x记切点\(T\)变换后的点为\(T'\),则\(P'Q'\)与圆相切于\(T'\),从而\[\begin{split}S_{\triangle OP'Q'}&=\frac 12OT'\cdot P'Q'\\&=2\left(P'T'+Q'T'\right)\\&\geqslant 4\sqrt{P'T'\cdot Q'T'}\\&=16,\end{split}\]等号当\(P'T'=Q'T'\)时取得.因此\(\triangle OPQ\)的面积\[S_{\triangle OPQ}=\frac 12S_{\triangle OP'Q'}\geqslant 8,\]于是其最小值存在,且为\(8\).


   本题所用的参数方程以及仿射变换方法可以参见2011年高考数学山东卷压轴题的两种解法

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每日一题[162]参数方程与仿射变换》有 3 条评论

  1. Pingback引用通告: 仿射变换(二)—仿射变换在解题中的应用 | Math173

  2. skyspyss说:

    最后的面积公式打错

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