每日一题[160] 不等式组的解

2015年高考湖北卷理科数学第10题（选择压轴题）：

设\(x\in\mathcal R\)，\([x]\)表示不超过\(x\)的最大整数．若存在实数\(t\)，使得\([t]=1\)，\(\left[t^2\right]=2\)，\(\cdots\)，\(\left[t^n\right]=n\)同时成立，则正整数\(n\)的最大值是（        ）

A．3

B．4

C．5

D．6

正确答案是B．

如图，将\(\left[t^n\right]=n\)的解\[n^{\frac 1n}\leqslant t<\left(n+1\right)^{\frac 1n},\]其中\(n=1,2,\cdots\)分别标在数轴上，记这些区间分别为\(A_1,A_2,\cdots\)，则有\[\bigcap_{k=1}^4A_k=\left[3^{\frac 13},5^{\frac 14}\right),\]而\[\bigcap_{k=1}^5A_k=\varnothing.\]于是所求正整数\(n\)的最大值是\(4\)．

注    其中省略了很多幂式的大小比较过程．