用给定基底或者根据具体情形选定基底后对图形中未知向量的分解，是解决向量问题或利用向量解决平面几何问题的重要核心步骤．在对平面向量的分解过程中，平面图形的性质得以代数化，从而可以通过函数、不等式等代数方法进行研究．与此同时，分解的系数也具有鲜明的几何意义，结合这些几何意义往往又可以简化问题．在学习平面向量时，体会这种代数与几何条件的互相对应与转化，对提高数形结合能力大有裨益．下面就通过一道经典的平面向量试题例说这一点．
已知\(O\)为\(\triangle ABC\)的外心，\(\cos A=\dfrac{1}{3}\)，若\(\overrightarrow{AO}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}\)，则\(\alpha + \beta\)的最大值为________．
利用三角形五心的向量表达（可以参考2015年1月27日每日一题）：
重心\(G\)满足
\[\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow 0,\]
外心\(O\)满足
\[\sin 2A\overrightarrow{OA}+\sin 2B\overrightarrow{OB}+\sin 2C\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0,\]
内心\(I\)满足
\[\begin{split}a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow 0,\\\sin A\overrightarrow{IA}+\sin B\overrightarrow{IB}+\sin C\overrightarrow{IC}=\overrightarrow 0\end{split}\]
垂心\(H\)满足
\[\tan A\overrightarrow{HA}+\tan B\overrightarrow{HB}+\tan C\overrightarrow{HC}=\overrightarrow 0,\]
旁心\(I_A\)满足
\[-\sin A\overrightarrow{I_AA}+\sin B\overrightarrow{I_AB}+\sin C\overrightarrow{I_AC}=\overrightarrow 0.\]
我们可以有效地通过代数计算来证明很多和三角形的五心相关的几何命题，比如：
在三角形\(ABC\)中，角\(A\)、\(B\)、\(C\)所对的边分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，且\(2a=b+c\)．\(O\)、\(I\)分别为\(\triangle ABC\)的外心和内心，求证：\(OI\perp AI\)．
下面的这个习题可以称得上是平面向量中最优美的一个结论，并且这个结论对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的五心相关的问题，有着决定性的基石作用．
已知\(P\)为三角形\(ABC\)内一点，求证：\[s_A\overrightarrow{PA}+s_B\overrightarrow{PB}+s_C\overrightarrow{PC}=\overrightarrow 0,\]其中\(s_A\)、\(s_B\)、\(s_C\)分别是\(\triangle BPC\)、\(\triangle CPA\)、\(\triangle APB\)的面积．
延长\(AP\)交边\(BC\)于点\(Q\)，则
\[\overrightarrow{AP}=\dfrac{\triangle APB+\triangle CPA}{\triangle ABC}\overrightarrow{AQ},\]
且根据共线向量的表达，有
\[\overrightarrow{AQ}=\dfrac{\triangle APB}{\triangle APB+\triangle CPA}\overrightarrow{AC}+\dfrac{\triangle CPA}{\triangle APB+\triangle CPA}\overrightarrow{AB}.\]
从而可得
\[\overrightarrow{AP}=\dfrac{\triangle APB}{\triangle ABC}\overrightarrow{AC}+\dfrac{\triangle CPA}{\triangle ABC}\overrightarrow{AB}.\]
对上式应用向量的换底公式（\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}\)），将所有的向量改写为以\(P\)为起点的，
\[-\overrightarrow{PA}=\dfrac{\triangle APB}{\triangle ABC}\left(\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PA}\right)+\dfrac{\triangle CPA}{\triangle ABC}\left(\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}\right),\]
整理即得．
由于这个定理和奔驰的logo很相似，我们把它称为奔驰定理．
这个定理也可以利用三角恒等式证明，记\(\angle APB=\alpha\)，\(\angle APC =\beta\)、\(PA=x\)、\(PB=y\)、\(PC=z\)，欲证等式左边与\(\overrightarrow{PA}\)作数量积\[\begin{split}&\quad \left(s_A\overrightarrow{PA}+s_B\overrightarrow{PB}+s_C\overrightarrow{PC}\right)\cdot\overrightarrow{PA}\\&=\dfrac 12yz\sin\left[2\pi-\left(\alpha+\beta\right)\right]\cdot x^2+\dfrac 12zx\sin\beta\cdot xy\cos\alpha+\dfrac 12xy\sin\alpha\cdot zx\cos\beta\\&=\dfrac 12x^2yz\left[-\sin\left(\alpha+\beta\right)+\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta\right]\\&=0,\end{split}\]同理，欲证不等式左边与\(\overrightarrow{PB}\)、\(\overrightarrow{PC}\)作数量积得到的结果也均为\(0\)．而向量\(\overrightarrow{PA}\)、\(\overrightarrow{PB}\)、\(\overrightarrow{PC}\)不共线，因此欲证明等式左边为零向量，等式得证．
事实上，根据这个定理，我们容易得到三角形的五心的向量表达：
重心\(G\)满足
\[\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow 0,\]
外心\(O\)满足
\[\sin 2A\overrightarrow{OA}+\sin 2B\overrightarrow{OB}+\sin 2C\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0,\]
内心\(I\)满足
\[\begin{split}a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow 0,\\\sin A\overrightarrow{IA}+\sin B\overrightarrow{IB}+\sin C\overrightarrow{IC}=\overrightarrow 0\end{split}\]
垂心\(H\)满足
\[\tan A\overrightarrow{HA}+\tan B\overrightarrow{HB}+\tan C\overrightarrow{HC}=\overrightarrow 0,\]
旁心\(I_A\)满足
\[-\sin A\overrightarrow{I_AA}+\sin B\overrightarrow{I_AB}+\sin C\overrightarrow{I_AC}=\overrightarrow 0.\]
三角形的五心的向量表达是用向量法解平面几何问题的重要理论基础．
如图，在直角三角形\(ABC\)中，已知\(BC=a\)．若长为\(2a\)的线段\(PQ\)以点\(A\)为中点，问\(\overrightarrow{PQ}\)与\(\overrightarrow{BC}\)的夹角\(\theta\)取何值时，\(\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{CQ}\)的值最大？并求出这个最大值．
已知\(P\)为椭圆\(\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1\)上一点，\(F_1\)、\(F_2\)分别为椭圆的两个焦点，圆\(M\)为三角形\(F_1PF_2\)的内切圆圆心，\(PM\)交\(x\)轴于\(N\)，求\(\dfrac{PM}{MN}\)的值．
已知\(A\)、\(B\)是以\(F_1\)、\(F_2\)为焦点的椭圆上（不在长轴上）两点，且\(F_1A\parallel F_2B\)．\(M\)为\(F_1B\)与\(F_2A\)的交点，求证：\(M\)的轨迹也是以\(F_1\)、\(F_2\)为焦点的椭圆．
证明 设\(AF_1=m\)，\(BF_2=n\)，则\(AF_2=2a-m\)，\(BF_1=2a-n\)．
由题意\[\dfrac{MF_1}{MB}=\dfrac{MA}{MF_2}=\dfrac{AF_1}{BF_2}=\dfrac mn.\]
于是\[MF_1=\dfrac m{m+n}\cdot (2a-n),MF_2=\dfrac n{m+n}\cdot(2a-m).\]
因此\[MF_1+MF_2=2a-\dfrac 2{\dfrac 1m+\dfrac 1n}.\]
我们熟知\[\dfrac 1m+\dfrac 1n=\dfrac 2{ep},\]
因此原命题得证．
这是2014年高考辽宁卷理科数学的第21题（解析几何大题）：
已知圆\(x^2+y^2=4\)的切线与\(x\)轴正半轴，\(y\)轴正半轴围成一个三角形．当该三角形的面积最小时切点为\(P\)．双曲线\(C_1:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\)过点\(P\)且离心率为\(\sqrt 3\)．
（1）求\(C_1\)的方程；
（2）椭圆\(C_2\)过点\(P\)且与\(C_1\)有相同的焦点，直线\(l\)过\(C_2\)的右焦点$F$且与\(C_2\)交于\(A\)，\(B\)两点．若以线段\(AB\)为直径的圆过点\(P\)，求\(l\)的方程． 继续阅读
这是49周数学组功底测试的圆锥曲线试题：
已知焦点在\(x\)轴上的双曲线\(C\)的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点\(A(0,\sqrt 2)\)为圆心，\(1\)为半径的圆相切．又知\(C\)的一个焦点与\(A\)关于直线\(y=x\)对称．
（1）求双曲线的方程；
（2）若\(Q\)是双曲线上的任一点，\(F_1\)，\(F_2\)为双曲线的左、右两个焦点，从\(F_1\)引\(\angle F_1QF_2\)的平分线的垂线，垂足为\(N\)，试求点\(N\)的轨迹方程．
