2014年高考数学湖北卷第10题（选择压轴题）：
已知函数\(f(x)\)是定义在\(\mathcal R\)上的奇函数，当\(x\geqslant 0\)时，\(f(x)=\dfrac{1}{2}\left(\left|x-a^2\right|+\left|x-2a^2\right|-3a^2\right)\)．若\(\forall x\in \mathcal R,f(x-1)\leqslant f(x)\)，则实数\(a\)的取值范围是（ ）
A．\(\left[-\dfrac 16,\dfrac 16\right]\)
B．\(\left[-\dfrac{\sqrt 6}6,\dfrac{\sqrt 6}6\right]\)
C．\(\left[-\dfrac 13,\dfrac 13\right]\)
D．\(\left[-\dfrac{\sqrt 3}3,\dfrac{\sqrt 3}3\right]\)
1、\(\left(1-\dfrac 12+\dfrac 13-\dfrac 14+\cdots+\dfrac{1}{2011}-\dfrac{1}{2012}\right)\div\left(\dfrac{1}{1007}+\dfrac{1}{1008}+\cdots+\dfrac{1}{2012}\right)=\)_______．
2、\(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=\)_______．
3、\(\dfrac{\left(3^4+4\right)\left(7^4+4\right)\left(11^4+4\right)\cdots\left(39^4+4\right)}{\left(5^4+4\right)\left(9^4+4\right)\left(13^4+4\right)\cdots\left(41^4+4\right)}=\)_______．
4、对于任意的实数\(x,y,z\)，定义运算\(\otimes\)为：\[x\otimes y=\dfrac{3x^3y+3x^2y^2+xy^3+45}{(x+1)^3+(y+1)^3-60},\]且\(x\otimes y\otimes z=\left(x\otimes y\right)\otimes z\)，则\(2013\otimes 2012\otimes 2011\otimes\cdots \otimes 3\otimes 2=\)_______．
5、\(\sqrt[3]{\dfrac{\sqrt 5-1}2-\left(\dfrac{\sqrt 5-1}{2}\right)^2}=\)_______．
6、\(1+\dfrac{1}{\sqrt 2}+\dfrac{1}{\sqrt 3}+\dfrac{1}{\sqrt 4}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{100}}\)的整数部分为_______．
7、已知\(x=\sqrt[3] 9+\sqrt [3] 3+1\)，则\(\left(\dfrac{2}{x}+1\right)^3=\)_______．
8、已知\(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{x^2+x}+\sqrt[3]{x^2}}\)，则\(f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(511)=\)_______．
9、已知\(x-y=6\)，\(\sqrt{x^2-xy}+\sqrt{xy-y^2}=9\)，则\(\sqrt{x^2-xy}-\sqrt{xy-y^2}=\)_______．
10、\(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}=1\)，则\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}=\)_______．
11、已知\(abc=1\)，且\[\begin{cases}\dfrac{by}{z}+\dfrac{cz}y=a,\\\dfrac{cz}{x}+\dfrac{ax}z=b,\\\dfrac{ax}y+\dfrac{by}x=c,\end{cases}\]则\(a^3+b^3+c^3=\)_______．
12、\(abc=1\)，则\(\dfrac{a}{ab+a+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{c}{ca+c+1}=\)_______．
13、已知\(a,b,c,d\)均不为\(0\)，且互不相等，若\[a+\dfrac 1b=b+\dfrac 1c=c+\dfrac 1d=d+\dfrac 1a,\]则\(a^2b^2c^2d^2=\)_______．
已知实数\(x,y\)满足\[\left(\sqrt{x^2+2015}-y\right)\cdot\left(\sqrt{y^2+2015}-x\right)=2015,\]求\(x+y\)的值．
2014年全国高中数学联赛安徽省预赛第12题：
求证：
（1）方程\(x^3-x-1=0\)恰有一个实根\(\omega\)，并且\(\omega\)是无理数；
（2）\(\omega\)不是任何整数系数二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a,b,c\in\mathcal Z\)，\(a\neq 0\)）的根．
2014年全国高中数学联赛贵州省预赛第5题：
已知\(a,b,c,\in [0,1]\)，则\(\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ca+1}+\dfrac{c}{ab+1}\)的取值范围是_______．
文科做前5题，理科做后5题，每题20分，满分100分．
1、设\(\dfrac{x}{x^2-1}=\dfrac 12\)，求\(\dfrac{x^2}{x^4+1}\)的值．
2、已知\(D\)为三角形\(ABC\)的边\(BC\)上的一点，\(BD:DC=1:2\)，\(AB:AD:AC=3:k:1\)，求\(k\)的取值范围．
3、已知正实数\(a,b,c\)满足\(a+b+c=1\)，求\(\dfrac{abc}{(1-a)(1-b)(1-c)}\)的最大值．
4、构造整系数多项式函数\(f(x)\)，使\(f\left(\sin 10^\circ\right)=0\)．
5、已知椭圆\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)上一点\(P\)与两焦点\(F_1\)、\(F_2\)形成的夹角\(\angle F_1PF_2=\alpha\)，求三角形\(F_1PF_2\)的面积．
6、已知\(n\in\mathcal N^*\)，求证：\(\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}<\dfrac 53\)．
7、已知\(a,b,c\)是三角形的三条边之长，\(a^k+b^k=c^k\)，求证：\(k<0\lor k>1\)． 继续阅读
2003年全俄中学生数学奥林匹克十年级第5题：
非负有理数列\(A_1,A_2,A_3,\cdots\)满足\(\forall m,n\in\mathcal N^*,A_m+A_n=A_{mn}\)，证明：该数列中必然存在相同的数．
2001年全俄中学生数学奥林匹克十年级第5题：
已知正数\(a,b,c\)满足\(a+b+c=3\)，求证：\(\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geqslant ab+bc+ca\)．
在平面直角坐标系\(xOy\)中，设\(A,B,C\)是平面上不同的三点，并且都在圆\(x^2+y^2=1\)上，若存在实数\(\lambda,\mu\)使得\(\overrightarrow{OC}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}\)，则\(\left(\lambda -3\right)^2+\mu^2\)的取值范围是_______．
