今天的题目是2012年安徽高考数学理科卷的填空题．
若\(\left|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|\leqslant 3\)，则\(\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b\)的最小值是_______．
嗯．．．今天的发布时间应该定在3月14日15时9分26秒的，纪念这个伟大的数字．
定义在\(\mathcal R\)上的可导函数\(f(x)\)满足\[\left(x-314\right)f(2x)-2xf'(2x)>0\]恒成立，求证：\(\forall x\in\mathcal R,f(x)<0\)．
已知数列\(\left\{a_n\right\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n}\)，求证：\(a_{2015}>63\)．
若实数\(a,b\)满足\[\begin{cases}4^a+a=2\\{\log_2}\sqrt{2b+1}+b=2\end{cases}\]求\(a+b\)的值． 继续阅读
配方是代数变形的重要手段，尤其在不等式问题中更是如此．配方法是初中就已经学习，并且非常熟练掌握的方法，我们今天再来品味一下熟悉的味道．
配方一 主元配方法
例题1、已知点\(P\)为曲线\(xy-\dfrac 52x-2y+3=0\)上一点，则\(x^2+y^2\)的最小值为_______．
解 对\(x^2+y^2\)配合已知条件进行配方\[\begin{split}x^2+y^2&=x^2+y^2+xy-\frac 52x-2y+3\\&=\underbrace{x^2+\left(y-\frac 52\right)x}_{x}+y^2-2y+3\\&=\left(x+\frac 12y-\frac 54\right)^2-\left(\frac 12y-\frac 54\right)^2+y^2-2y+3\\&=\left(x+\frac 12y-\frac 54\right)^2+\underbrace{\frac 34y^2-\frac 34y+\frac{23}{16}}_{y}\\&=\left(x+\frac 12y-\frac 54\right)^2+\frac 34\left(y-\frac 12\right)^2+\frac 54\end{split}\]于是\(x^2+y^2\)的最小值为\(\dfrac 54\)，当且仅当\(x=1\land y=\dfrac 12\)时取得．
上述配方过程中先视\(x\)为主元进行配方，然后再对\(y\)进行配方，这种方法称为主元配方法，又称为拉格朗日配方法．
练习1、用拉格朗日配方法证明：\[a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ca.\]
配方二 参数配方法
例题2、（2014年高考辽宁卷理科数学第16题）对于\(c>0\)，当非零实数\(a,b\)满足\[4a^2-2ab+4b^2-c=0\]且使\(|2a+b|\)最大时，\(\dfrac 3a-\dfrac 4b+\dfrac 5c\)的最小值为_______．
解 根据已知\[\begin{split}c+\lambda\left(2a+b\right)^2&=\left(4a^2-2ab+4b^2\right)+\lambda\left(4a^2+4ab+b^2\right)\\&=\left(4+4\lambda\right)a^2+\left(4\lambda-2\right)ab+\left(4+\lambda\right)b^2,\end{split}\]为了使得右边为完全平方式，其判别式\[\Delta=\left(4\lambda-2\right)^2-4\cdot\left(4+4\lambda\right)\left(4+\lambda\right)=0,\]解得\[\lambda=-\frac 58.\]
这样我们就有\[c-\frac 58\left(2a+b\right)^2=\frac 32\left(a-\frac 32b\right)^2.\]
因此当\(|2a+b|\)取最大值时，\(a=\dfrac 32b\)，进而\(c=10b^2\)．代入欲求最小值的式子中，有\[\frac 3a-\frac 4b+\frac 5c=\frac 12\cdot\left(\frac 1b\right)^2-2\cdot\left(\frac 1b\right)\geqslant -2,\]等号当且仅当\(\dfrac 1b=2\)时取得．
上述配方过程中，为了达到配凑完全平方式的目的，我们引入了参数\(\lambda\)，并利用了二次式的判别式辅助配方．
练习2、设\(x,y\in\mathcal R\)，若\(4x^2+y^2+xy=1\)，则\(2x+y\)的最大值是_______．（\(\dfrac{2\sqrt{10}}{5}\)）
注 判别式可以辅助配方，也可以单独使用．比如上面的练习2有基于判别式的以下解法：
令\(t=2x+y\)，则\(y=t-2x\)，代入条件中有\[4x^2+\left(t-2x\right)^2+x\left(t-2x\right)=1,\]即\[6x^2-3tx+t^2-1=0,\]其判别式\[\Delta=9t^2-24\left(t^2-1\right)\geqslant 0,\]解得\[-\frac{2\sqrt{10}}5\leqslant t\leqslant\frac{2\sqrt{10}}5.\]
经验证，等号可以取得，因此\(2x+y\)的最大值为\(\dfrac{2\sqrt{10}}5\)．
练习3、（练习1的推广）用判别式法证明嵌入不等式：\[x^2+y^2+z^2\geqslant 2xy\cdot\cos C+2yz\cdot\cos A+2zx\cdot\cos B,\]其中\(A,B,C\)为某个三角形的三个内角．
1、设连续正整数的集合\(I=\{1,2,3,\cdots,238\}\)，若\(T\)是\(I\)的子集且满足条件：当\(x\in T\)时，\(7x\not\in T\)， 则集合\(T\)中元素个数最多是_______．
2、已知\(f(x)\)在\(\mathcal R\)上单调递增，且对于任何实数\(x\)，均有\(f\left[f(x)-3^x\right]=4\)，则\(f(2015)\)的值为_______．
3、已知函数\(f(x)=\dfrac{\sin{\pi x}}{{\pi}^x+{\pi}^{1-x}}\)（\(x\in\mathcal{R}\)）．下列命题：
① 函数\(f(x)\)既有最大值又有最小值；
② 函数\(f(x)\)是轴对称图形；
③ 函数\(f(x)\)在区间\(\left[-\pi,\pi\right]\)上共有\(7\)个零点；
④ 函数\(f(x)\)在区间\((0,1)\)上单调递增．
其中真命题是_______．（填上所有真命题的序号）
4、函数\(f(x)=\cos x+x\sin x\)，\(x\in\left[-\pi,\pi\right]\)的极值点个数为_______．
5、设\(a\)为实数，函数\(f(x)=x^2+\left|x-a\right|+1\)的最小值_______．
6、定义在\(\mathcal{R}\)上的函数\(f(x)\)为奇函数且为减函数，若\(s,t\)满足\[f\left(s^2-2s\right)\leqslant{-f\left(2t-t^2\right)},\]则当\(1\leqslant{s}\leqslant{4}\)时，\(\dfrac{s}{t}\)的取值范围是_______．
7、中韩围棋擂台赛每方出八名棋手进行比赛（双方棋手的出场顺序已经确定），规定：每方先出一名棋手进行比赛，胜者继续参赛，负者被淘汰，依次进行，直到一方选手全部被淘汰，则比赛结束．假定中韩双方胜负的概率均等，那么
（1）一共可能出现的比赛结果总数为_______；（写出算式即可）
（2）中方在获胜的时候只剩下最后一名选手的概率为_______．（写出算式即可）
（2015年北京市海淀区高三期末理科）如图所示，在正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，点\(E\)是边\(BC\)的中点．点\(P\)在直线\(BD_1\)（除\(B\)、\(D_1\)两点）上运动的过程中，平面\(DEP\)可能经过的该正方体的顶点是_______．（写出满足条件的所有顶点）
正确的答案是\(A_1,B_1,D\)．
当然，将正方体的顶点逐一代入验证是得到答案的简捷方法．但我们今天的问题是，确定平面\(DEP\)可能经过的该正方体表面的所有的点．
一 学习大致有两种心态
第一种关心高考能用什么就学什么；第二种关心高考考过什么就学什么．心态不同，最后的结局也不同．
二 对于概念
对于概念的教学，往往有两种不可取的极端．一种认为概念不重要，技巧才重要，因为没有试题只考概念．这种观点要不得，因为没有概念之土壤，技巧之花草无从生根．另外一种认为概念很重要，学生之所以没有掌握好数学知识就是因为概念没有讲清楚．这种观念更要不得，对概念的理解需要在解题实践中逐渐提纯，慢慢的磨砺．概念不是讲清楚的，是练清楚的．
三 解题的层次
解题有四个递进的层次：解答、解析、解法、解释．解答追求把正确答案做出来；解析追求将得到答案的步骤结构化；解法追求将不同的解析过程抽象成可复用的方法；解释是将解法纳入自己的数学思维体系中去，和已有的观点进行融合．
今天的题目是2015年北京市东城区高三期末理科数学选择题的最后一题．
已知圆\(C:x^2+y^2=2\)，直线\(l:x+2y-4=0\)，点\(P\left(x_0,y_0\right)\)在直线\(l\)上．若存在圆\(C\)上的点\(Q\)，使得\(\angle OPQ=45^\circ\)（\(O\)为坐标原点），则\(x_0\)的取值范围是（ ）
A．\([0,1]\)
B．\(\left[0,\dfrac 85\right]\)
C．\(\left[-\dfrac 12,1\right]\)
D．\(\left[-\dfrac 12,\dfrac 85\right]\)
这是现实生活中经常遇到的例子，甲乙两人从同一出发地拼车，乙的终点位于去往甲的终点的途中，最后甲支付了所有车费，那么乙需要支付给甲多少钱？
比如，甲单独打车需要花60元，乙单独打车需要花40元，最后甲、乙分别需要向司机支付多少元？
再比如，某商场举行买一送一的活动，活动的规则是任选两件商品，按价高者付费即可．那么如果甲看中了一件60元的商品，乙看中了一件40元的商品，一起结账的时候需要各自支付多少元？
一个简单的算法是这样的，甲乙一共享受了100元的服务，一共需要支出60元，相当于打6折，于是甲应该支付36元，乙需要支付24元．
PS：这个算法不直接适用于变态的星巴克买一赠一（Buy One Get One），因为那个券是要花钱买的，需要把券的成本也考虑进支出．
