每日一题[55] 合体攻击combos

嗯．．．今天的发布时间应该定在3月14日15时9分26秒的，纪念这个伟大的数字．

定义在\(\mathcal R\)上的可导函数\(f(x)\)满足\[\left(x-314\right)f(2x)-2xf'(2x)>0\]恒成立，求证：\(\forall x\in\mathcal R,f(x)<0\)．

 原问题即

定义在\(\mathcal R\)上的可导函数\(f(x)\)满足\[\left(x-628\right)f(x)-2xf'(x)>0\qquad \cdots (*)\]恒成立，求证：\(\forall x\in\mathcal R,f(x)<0\)．

我们猜想函数\(f(x)\)是某个函数\(F(x)\)的导数\(F'(x)\)的一个因式．

联想常见的两个模型：

模型一    \(\left({\rm e}^x\cdot f(x)\right)'={\rm e}^x\left(f(x)+f'(x)\right)\)；

模型二    \(\left(x\cdot f(x)\right)'=f(x)+xf'(x)\)．

为了可以用得上这两个模型，我们引入参数：

模型三    \(\left({\rm e}^{ax}\cdot f(x)\right)'={\rm e}^{ax}\left(a\cdot f(x)+f'(x)\right)\)；

模型四    \(\left(x^b\cdot f(x)\right)'=x^{b-1}\left(b\cdot f(x)+xf'(x)\right)\)．

似乎都无法奏效，那么尝试一下合体攻击：

模型五    \(\left({\rm e}^{ax}\cdot x^b\cdot f(x)\right)'={\rm e}^{ax}\cdot x^{b-1}\left((ax+b)\cdot f(x)+xf'(x)\right)\)．

看起来成功了！为了可以使用模型五，我们将(*)变形为\[\left(-\frac 12x+314\right)f(x)+xf'(x)<0,\]对比可知\(a=-\dfrac 12\)，\(b=314\)．

因此\[F(x)={\rm e}^{-\frac 12x}\cdot x^{314}\cdot f(x),\]

其导函数\[F'(x)={\rm e}^{-\frac 12x}\cdot x^{313}\cdot \left[\left(-\frac 12x+314\right)f(x)+xf'(x)\right].\]

根据题意\[\forall x\in\mathcal R,\left(-\frac 12x+314\right)f(x)+xf'(x)<0,\]因此\(F(x)\)在\((-\infty,0)\)上单调递增，在\((0,+\infty)\)上单调递减．而\(F(0)=0\)，于是\[\forall x\in\mathcal R^*,F(x)<0,\]即\[\forall x\in\mathcal R^*,f(x)< 0.\]

又在(*)中令\(x=0\)可得\(f(0)<0\)，补充上述结论可得\[\forall x\in\mathcal R,f(x)<0.\]