每日一题[54] 强势放缩

已知数列\(\left\{a_n\right\}\)满足\(a_1=1\),\(a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n}\),求证:\(a_{2015}>63\).


cover 首先由初值\(a_1=1\),以及迭代函数\(y=x+\dfrac{1}{x}\)的图象可得数列\(\left\{a_n\right\}\)发散.

未命名-1考虑作差\[a_{n+1}-a_n=\dfrac{1}{a_n},\]然而得到的结果是趋于\(0\)的,这使得我们无法依此去估计\(a_{2015}\)的取值下界.

因此,可以尝试放大\(a_{n+1}\)与\(a_n\)的距离.当然,按比例放大是不行的(比如说两边同时乘以\(10\)是无效的.事实上,方幂可以有效的将微小的差距扩大,因此两边平方有\[a_{n+1}^2=a_n^2+2+\frac{1}{a_n^2},\]于是可得\[a_{n+1}^2-a_n^2>2,\]进而有\[a_{2015}^2>2\times 2014+a_1^2=4029,\]两边开方就能推得欲证结论.

当然,我们也可以将两边立方,但这样会“浪费”很多,最后得到的结果反而不如平方好了.

最后给一个补充练习:

已知数列\(\left\{a_n\right\}\)满足\(a_1=1\),\(a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n^2}\),求证:\(a_{2015}>18\).

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每日一题[54] 强势放缩》有4条回应

  1. jenny说:

    想请教一下补充练习的证明方法,谢谢

  2. 刘艳辉说:

    我大概尝试了一下处理例题的上界,估计出来小于64,但没搞定是靠近63,还是靠近64。测试了一下,a_2013都还靠近63.

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