2008年全国II卷理科数学压轴题的简解

2008年高考全国II卷理科数学第22题（压轴题）：

设函数\(f(x)=\dfrac{\sin x}{2+\cos x}\)．

（1）求\(f(x)\)的单调区间；

（2）如果对任何\(x\geqslant 0\)，都有\(f(x)\leqslant ax\)，求\(a\)的取值范围．

解    （1）根据已知，\(f(x)\)的导函数为\[f'(x)=\dfrac{2\cos x+1}{\left(2+\cos x\right)^2},\]于是\(f(x)\)的单调递增区间为\(\left(2k\pi-\dfrac{2\pi}3,2k\pi+\dfrac{2\pi}{3}\right)\)，单调递减区间为\(\left(2k\pi+\dfrac{2\pi}3,2k\pi+\dfrac{4\pi}3\right)\)，其中\(k\in\mathcal Z\)．

（2）题中条件即\[\forall x\geqslant 0,ax-f(x)\geqslant 0,\]记左侧函数为\(g(x)\)，则\[g'(x)=\dfrac{a\cos^2x+(4a-2)\cos x+4a-1}{\left(2+\cos x\right)^2},\]分析端点，考虑到\(g(0)=0\)，于是\[g'(0)=3a-1\geqslant 0,\]否则在\(x=0\)的右邻域内不等式不成立，于是得到必要条件\(a\geqslant \dfrac 13\)．

接下来证明充分性． 若\(a\geqslant \dfrac 13\)，则当\(x\geqslant 0\)时，有\[ax-f(x)\geqslant \dfrac 13x-f(x),\]而\[\left(\dfrac 13x-f(x)\right)'=\dfrac{\left(\cos x-1\right)^2}{3\left(2+\cos x\right)^2}\geqslant 0,\]于是有\[\forall x\geqslant 0,\dfrac 13x-f(x)\geqslant \left.\left(\dfrac 13x-f(x)\right)\right|_{x=0}=0,\]于是题中不等式恒成立．

综上，\(a\)的取值范围是\(\left[\dfrac 13,+\infty\right)\)．