Math173

已知偶函数\(f(x)\)满足\(f(x+2)=\dfrac{1}{f(x)}\)，且当\(x\in [1,2)\)时，\(f(x)=x-2\)，则\(f(6.5)=\)_______．

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在我看来，数学能力由相辅相成的两部分组成：偏感性的直觉、观察能力、创造思维、发散思维；偏理性的验证、运算能力、逻辑思维、聚焦思维．今天再带来一道同时融合代数运算与几何观察的试题．

如图，已知半径为\(1\)的半圆\(O\)以及圆外一点\(A\)，\(OA=2\)．点\(B\)为圆\(O\)上任意一点，以\(AB\)为底向外作正三角形\(ABC\)．

（1）求四边形\(OACB\)面积的最大值；

（2）求线段\(OC\)长度的最大值．

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计数问题有时需要分类讨论，分类讨论时看清本质，再选择合适的讨论标准，减少讨论的分类，是讨论时需要记在心里默念的原则．2014年高考广东理科数学第8题（选择压轴题）：

设集合\(A=\left\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)|x_i\in\{-1,0,1\},i=1,2,3,4,5\right\}\)，那么集合\(A\)中满足条件“\(1\leqslant |x_1|+|x_2|+|x_3|+|x_4|+|x_5|\leqslant 3\)”的元素个数为（        ）

A．$60$

B．$90$

C．$120$

D．$130$

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有时候，我们需要处理三元的代数式最值问题．初学者往往因为被三个未知数迷惑而觉得无从下手．事实上，此时只需要冻结其中部分变量（暂时将其视为常数），问题就转化为单变元或二元情形，进而可以依托函数最值或二元 均值不等式处理了．虽然很多三元的代数式最值问题可以运用三元的均值不等式处理，但是熟练掌握此技巧正是代数变形的基本功，需要牢牢掌握．

设\(a>b>c>0\)，则\(2a^2+\dfrac 1{ab}+\dfrac{1}{a(a-b)}-10ac+25c^2\)的最小值是（        ）

A．\(2\)

B．\(4\)

C．\(2\sqrt 5\)

D．\(5\)

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函数不等式相关的问题解决思路通常是“通过函数的单调性将函数不等式转化成自变量相关的不等式”，但有时函数的单调区间比较复杂，直接用单调性无法解决问题，这时往往就需要借助函数的图象寻找突破口了．

2013年天津高考理科第8题（选择压轴题）：

已知函数\(f(x)=x(1+a|x|)\)，设关于\(x\)的不等式\(f(x+a)<f(x)\)的解集为\(M\)，若\(\left[-\dfrac 12,\dfrac 12\right]\subseteq M\)，则实数\(a\)的取值范围是____．

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已知平面\(\alpha\)和\(\beta\)相交形成的四个二面角中的其中一个为\(60^\circ\)，则在空间中过某定点\(P\)与这两个平面所成的线面角均为\(30^\circ\)的直线\(l\)条数为_______．

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向量的数量积运算有明确的几何意义，合理利用几何意义可以有效减少计算．特别是在探索对于与动点相关的数量积的最值问题中的最值点位置时，往往可以起到一矢中的的效果．

2014年高考数学浙江卷（文科）第9题：

设\(\theta\)为两个非零向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)的夹角，已知对任意实数\(t\)，\(\left|\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{a}\right|\)的最小值为\(1\)，则下列说法正确的有______．

① 若\(\theta\)确定，则\(\left|\overrightarrow{a}\right|\)唯一确定；

② 若\(\theta\)确定，则\(\left|\overrightarrow{b}\right|\)唯一确定；

③ 若\(\left|\overrightarrow{a}\right|\)确定，则\(\theta\)唯一确定；

④ 若\(\left|\overrightarrow{b}\right|\)确定，则\(\theta\)唯一确定． 继续阅读 →

与函数不等式相关的问题往往与函数的单调性相关，此时的解析式更像是给出函数性质的一个载体，而与具体的形式关系不大．函数不等式问题解决的关键就在于将函数不等式转化成与自变量相关的不等式，这通常通过探索函数的性质以及对函数不等式进行变形得到．

设\(f(x)\)是定义在\(\mathcal{R}\)上的奇函数，且当\(x\geqslant 0\)时，\(f(x)=x^2\)，若对于任意的\(x\in [t,t+2]\)，不等式\(f(x+t)\geqslant 2f(x)\)恒成立，则实数\(t\)的取值范围是_____．

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