下面这道题目是我以前在三轮复习讲义中设置的一道习题，原意是让学生练习对称最值问题的快速解法．
题目 已知三角形$ABC$的三条边对应为$a$、$b$、$c$，且$a+b+c=10$，$\cos C=\dfrac 78$，则三角形$ABC$面积的最大值为_______．
正确答案是$\sqrt {15}$．
在学生得到答案后进行严格的推理证明时出现了颇多问题，列举如下．
2010年北京市西城区一模理科数学第8题（选择压轴题）：
如图，平面$\alpha$与平面$\beta$垂直，直线$l$为两个平面的交线．$A$、$C$是平面$\alpha$内不同的两点，$B$、$D$是平面$\beta$内不同的两点，且$A,B,C,D\not\in l$，$M$、$N$分别是线段$AB$、$CD$的中点，下列判断正确的是（ ）
A．当$|CD|=2|AB|$时，$M$、$N$两点不可能重合
B．$M$、$N$两点可能重合，但此时直线$AC$与直线$l$不可能相交
C．当$AB$与$CD$相交，直线$AC$平行于$l$时，直线$BD$可以与$l$相交
D．当$AB$、$CD$是异面直线时，$MN$可能与$l$平行
递推公式描述了由数列中的已知项获得数列中新的项的方式，确定新的项所需要的已知项的数目就是递推公式的阶数．如递推公式\(a_{n}=a_{n-1}^2+a_{n-2}\)的阶数为\(2\)．要确定一个数列，通常需要给出与阶数相同的初始值，如由二阶递推公式给出的数列通常需要给定\(a_1,a_2\)的值．
2014年高考安徽卷理科数学第5题：
已知$x,y$满足约束条件$\begin{cases} x+y-2\leqslant 0,\\x-2y-2 \leqslant 0,\\2x-y+2 \geqslant 0,\end{cases} $若$z=y-ax$取得最大值的最优解不唯一，则实数$a$的值为（ ）
A．$-\dfrac 12$或$-1$
B．$2$或$\dfrac 12$
C．$2$或$1$
D．$2$或$-1$
求数列的通项的基本方法有累加法和累乘法，等差数列与等比数列的通项公式就分别由累加法与累乘法对应得到的．对于一般的递推公式，如果可以通过适当的代数变形转化成可以使用累加法与累乘法的递推形式，则问题就得到的解决，不动点法就提供了这样的一个转化的方向． 继续阅读
函数$y=x^2+ax+b$的图象与坐标轴交于三个不同的点$A$、$B$、$C$，已知$\triangle ABC$的外心在直线$y=x$上，求$a+b$的值．
对于向量问题，一般有利用坐标进行代数运算和利用几何图形发现规律两种不同的思考方向．例如
若点$A$在圆$C:(x-1)^2+(y+2)^2=4$上运动，点$B$在$y$轴上运动，则对定点$P(3,2)$而言，$\left|\overrightarrow {PA}+\overrightarrow {PB}\right|$的最小值为_______．
本试卷共六题，其中第1，2，3，4题每题15分，第5，6题每题20分．
1、给定正整数$n$，设实数$a_1,a_2,\cdots ,a_n$；$x_1,x_2,\cdots ,x_n$；$y_1,y_2,\cdots ,y_n$满足$$a\leqslant a_i\leqslant b,i=1,2,\cdots ,n,$$且$$\sum_{i=1}^nx_i^2=\sum_{i=1}^ny_i^2=1,$$证明：$$\left|\sum_{i=1}^na_ix_i^2-\sum_{i=1}^na_iy_i^2\right|\leqslant 2(b-a)\sqrt{1-\left(\sum_{i=1}^nx_iy_i\right)^2}.$$
1、已知函数$f(x)=4\sin^3x\cos x-2\sin x\cos x-\dfrac 12\cos 4x$．
（1）求$f(x)$的最小正周期及最大值；
（2）求$f(x)$的单调区间．
我们先来看一下2003年高考江苏卷的压轴题：
例题1 （2003年江苏）设$a > 0$，如图．已知直线：$y = ax$及曲线$C$：$y = {x^2}$，$C$上的点${Q_1}$的横坐标为${a_1}$（$0 < {a_1} < a$）．从$C$上的点${Q_n}$（$n \geqslant 1$）作直线平行于$x$轴，交直线$l$于点${P_{n + 1}}$，再从${P_{n + 1}}$作直线平行于$y$轴，交曲线$C$于点${Q_{n + 1}}$．${Q_n}$（$n = 1 , 2 , \cdots $）的横坐标构成数列$\left\{ {{a_n}} \right\}$．
（1）试求${a_{n + 1}}$与${a_n}$的关系，并求$\left\{ {{a_n}} \right\}$的通项公式．
（2）当$a = 1$，${a_1} \leqslant \dfrac{1}{2}$时，证明：$\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {{a_k}-{a_{k + 1}}} \right){a_{k + 2}}} < \dfrac{1}{{32}}$；
（3）当$a = 1$时，证明：$\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{a_i}-{a_{i + 1}}} \right){a_{i + 2}}} < \dfrac{1}{3}$．
