Math173

下面这个连环解析几何试题是我偶然从一个QQ讨论群中得到的题目，是训练解析几何解题能力的绝佳练习材料．解决这些问题无需花哨的技巧，只需要潜心运算，可以在提高解题能力的同时修身养性，达到一举两得的效果．

已知椭圆$E:\dfrac{x^2}2+y^2=1$．

设$A_2$为椭圆的右顶点．

1、过$A_2$且互相垂直的两条直线分别交椭圆$E$于另两点$A,B$，直线$AB$是否过定点？请说明理由．

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已知函数$f(x)$是定义在区间$(-1,1)$上的函数，且满足下列性质：

①$f(x)$是定义在区间$(-1,1)$上的增函数；

②对于定义域内的任意实数$x,y$满足$$f(x)+f(y)=f\left(\dfrac {x+y}{1+xy}\right ).$$（1）求$f(0)$的值，判断并证明$f(x)$的奇偶性；

（2）若$f\left(\dfrac 12\right )=1$，试比较$$f\left(\dfrac 15\right )+f\left(\dfrac {1}{11}\right )+f\left(\dfrac {1}{19}\right )+f\left(\dfrac {1}{29}\right )+\cdots+f\left(\dfrac {1}{89}\right )$$与$1$的大小．

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如图，用四种不同颜色给图中的$A,B,C,D,E,F$六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有_____．

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对给定的正整数$n$，若存在若干个正整数$a_1,a_2,\cdots,a_k$，满足$$a_1+a_2+\cdots+a_k=n(k=1,2,\cdots),$$且$a_1\leqslant a_2\leqslant \cdots \leqslant a_k$，则称数列$a_1,a_2,\cdots,a_k$为正整数$n$的一个“友数列”．若$n$的所有友数列的个数记为$M_n$，对任意一个友数列$\sigma _i^n(i=1,2,\cdots,M_n)$，$A\left(\sigma _i^n \right )$表示数列中数字$1$出现的个数，$B\left(\sigma _i^n \right )$表示数列中出现的不同数字的个数，则研究下列问题：

（1）当$n=4$时，分别写出$M_4,\sum \limits _{i=1}^{M_4} {A\left(\sigma _i^4 \right )},\sum \limits _{i=1}^{M_4} {B\left(\sigma _i^4 \right )}$；

（2）计算$\sum \limits _{i=1}^{M_5} {A\left(\sigma _i^5 \right )}$，并比较其与$M_4+M_3+M_2+M_1+1$的大小；

（3）对给定的正整数$n$，试比较$\sum \limits _{i=1}^{M_n} {A\left(\sigma _i^n \right )}$与$\sum \limits _{i=1}^{M_n} {B\left(\sigma _i^n \right )}$的大小，并说明理由．

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如图，在三棱锥$O-ABC$中，三条棱$OA,OB,OC$两两垂直，且$OA>OB>OC$，分别经过三条棱$OA,OB,OC$作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为$S_1,S_2,S_3$，则$S_1,S_2,S_3$的大小关系为_____．

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2016年北京西城高三期末数学理第8题（选择压轴题）：

如图，正方形$ABCD$的边长为$6$，点$E,F$分别在边$AD,BC$上，且$DE=2EA$，$CF=2FB$，如果对于常数$\lambda$，在正方形$ABCD$的四条边上，有且只有$6$个不同的点$P$，使得$\overrightarrow {PE}\cdot\overrightarrow {PF}=\lambda$成立，那么$\lambda$的取值范围是_____．

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2011年高考数学重庆卷压轴题：

设实数数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，满足$S_{n+1}=a_{n+1}S_n$($n\in\mathcal N^*$)．

（1）若$a_1,S_2,-2a_2$成等比数列，求$S_2$和$a_3$；

（2）求证：对$k\geqslant 3$，有$0\leqslant a_{k+1}\leqslant a_k\leqslant \dfrac 43$．

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椭圆$C$：$\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为$F_1$、$F_2$，若椭圆$C$上恰好有$6$个不同的点$P$，使得$\triangle F_1F_2P$为等腰三角形，则椭圆$C$的离心率的取值范围是_____．

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已知点$A,B$分别为异面直线$a,b$上的点，且直线$AB$与$a,b$均垂直，动点$P\in a$，$Q\in b$，$PA+QB$为定值，则线段$PQ$中点$M$的轨迹是（          ）

A．平行四边形

B．圆

C．椭圆

D．双曲线

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2016年北京市海淀区高三期末理14（填空压轴题）：

已知$\triangle ABC$，若存在$\triangle A_1B_1C_1$，满足$$\dfrac {\cos A}{\sin A_1}=\dfrac {\cos B}{\sin B_1}=\dfrac {\cos C}{\sin C_1}=1,$$则称$\triangle A_1B_1C_1$是$\triangle ABC$的一个“友好”三角形．

（1）在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是____；（请写出所有符合要求的条件的序号）

①$A=90^\circ,B=60^\circ,C=30^\circ$；

②$A=75^\circ,B=60^\circ,C=45^\circ$；

③$A=75^\circ,B=75^\circ,C=30^\circ$．

（2）若等腰$\triangle ABC$存在“友好”三角形，则其顶角的度数为____．

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