$b$克糖水中含有$a$克糖，糖的质量与糖水的质量比为$\dfrac ab$，这个质量比决定了糖水的甜度．如果再添加$m$克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为$$\dfrac {a+m}{b+m}>\dfrac ab,$$称为糖水不等式，其中$b>a>0,m>0$．这个不等式作差很容易证明，在这里略去．利用糖水不等式可以证明高中的一类形如$$\prod_{i=1}^{n}a_i>f(n)$$的不等式问题．
求证：$\left(1-\dfrac 12\right )\left(1-\dfrac 14\right )\left(1-\dfrac 16\right )\cdots\left(1-\dfrac {1}{2n}\right )<\sqrt{\dfrac {1}{2n+1}}$． 继续阅读
已知平面上两点\(A,B\)，则所有满足\(\dfrac {PA}{PB}=k\)且不等于\(1\)的点\(P\)的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆，又称阿波罗尼斯圆．（当\(k=1\)时，点\(P\)的轨迹为\(AB\)的垂直平分线．）
“渐开数”是指：一个数从第二位起，每一位数字都比其左边数字大的整数（如$236$），那么任取一个三位数，它是“渐开数”的概率为_____．
如图，\(\triangle ABC\)的外心为\(O\)，\(AB=AC\)，\(D\)是\(AB\)的中点，\(E\)是\(\triangle ACD\)的重心．证明：\(OE\perp CD\)．
设等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，其前$n$项的积为$T_n$，并且满足条件$a_1>1$，$a_{99}\cdot a_{100}-1>0$，$\dfrac {a_{99}-1}{a_{100}-1}<0$．给出下列结论，其中正确的结论有______．
① $0<q<1$；
② $a_{99}\cdot a_{101}-1>0$；
③ $T_{100}$的值是$T_n$中最大的；
④ 使$T_n>1$成立的最大自然数$n$等于$198$．
已知锐角\(\triangle ABC\)中，以\(BC\)为直径作\(\bigodot O\)，\(AD\)切\(\bigodot O\)于点\(D\)，\(E\)为\(AB\)上一点，作\(EF\perp AB\)交\(AC\)延长线于点\(F\)，若\(AB\cdot AC=AE\cdot AF\)，求证：\(AD=AE\)．
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已知$x\in \mathcal{R}$，用$[x]$表示不超过$x$的最大整数，记$\{x\}=x-[x]$，若$a\in(0,1)$，则$\{a\}$与$\left\{a+\dfrac 12\right \}$的大小关系是（ ）
A．不确定（与$a$的值有关）
B．$\{a\}<\left\{a+\dfrac 12\right\}$
C．$\{a\}=\left\{a+\dfrac 12\right\}$
D．$\{a\}>\left\{a+\dfrac 12\right\}$ 继续阅读
如图，等边\(\triangle ABC\)内有一点\(P\)，\(PC>PB\)，若\(\angle BPC=150^\circ\)，\(PA=5\)，\(S_{\triangle PBC}=3\)，求\(S_{\triangle ABC}\)．
定义在\(\mathcal{R}\)上的函数\(f(x)\)满足\(f(0)=0\)，\(f(x)+f(1-x)=1\)，\(f\left(\dfrac{x}{5}\right)=\dfrac 12f(x)\)，且当\(0\leqslant x_1<x_2\leqslant 1\)时，\(f(x_1)\leqslant f(x_2)\)，则\(f\left(\dfrac{1}{2015}\right)=\)___．
